有关线性代数中矩阵的问题,如题 有关线性代数中矩阵的问题,1.设A是N阶矩阵,N是奇数,且AA '＝I,|A|=1,证明I-A不可逆 2.设A是N阶矩阵,且满足AA '＝I,|A|=-1,证明A＋I不可逆 3.若A,B是N阶方阵,且I＋AB可

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:35:53

有关线性代数中矩阵的问题,如题 有关线性代数中矩阵的问题,1.设A是N阶矩阵,N是奇数,且AA '＝I,|A|=1,证明I-A不可逆 2.设A是N阶矩阵,且满足AA '＝I,|A|=-1,证明A＋I不可逆 3.若A,B是N阶方阵,且I＋AB可
有关线性代数中矩阵的问题,如题
有关线性代数中矩阵的问题,1.设A是N阶矩阵,N是奇数,且AA '＝I,|A|=1,证明I-A不可逆 2.设A是N阶矩阵,且满足AA '＝I,|A|=-1,证明A＋I不可逆 3.若A,B是N阶方阵,且I＋AB可逆,则I＋BA也可逆,且（I＋BA）^（－1）=I-B(I＋AB)^(-1)A 4.若A^2=B^2=I,且|A|＋|B|=0,试证明：A＋B是不可逆矩阵 请给出证明过程,

有关线性代数中矩阵的问题,如题 有关线性代数中矩阵的问题,1.设A是N阶矩阵,N是奇数,且AA '＝I,|A|=1,证明I-A不可逆 2.设A是N阶矩阵,且满足AA '＝I,|A|=-1,证明A＋I不可逆 3.若A,B是N阶方阵,且I＋AB可
1,因为AA'=E,所以(E-A)'A=A-E 所以|(E-A)'||A|=|A-E|=|(E-A)'|=|E-A| 所以|-(E-A)|=|E-A|,因为A是N阶所以E-A也为N阶 所以(-1)^n|E-A|=|E-A|,因为N是奇数,所以-|E-A|=|E-A|,所以|E-A|=0,所以E-A不可逆 2,同理(E+A)'A=A+E |(E+A)'||A|=|A+E| 所以-|(E+A)'|=-|E+A|=|E+A| 所以|E+A|=0,所以E+A不可逆 3,由(E+BA)[E-B(E+AB)^(-1)A]得 E-B(E+AB)^(-1)A+BA-BAB(E+AB)^(-1)A =E-B(E+AB)^(-1)A+B[E-AB(E+AB)^(-1)]A =E-B(E+AB)^(-1)A+B[(E+AB)(E+AB)^(-1)-AB(E+AB)^(-1)]A =E-B(E+AB)^(-1)A+B[(E+AB-AB)(E+AB)^(-1)]A =E-B(E+AB)^(-1)A+B(E+AB)^(-1)A =E 所以E+BA可逆,且逆矩阵为B(E+AB)^(-1)A 4,A+B=ABB+AAB=A(A+B)B 因为A^2=B^2=E,且|A|+|B|=0,所以|A|=1,|B|=-1,或者|A|=-1,|B|=1 所以|A+B|=|A||(A+B||B|=-|A+B|,所以|A+B|=0所以A+B不可逆

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