作业帮数论证明,关于质数若2^n+1是质数(n>1),则n是2的方幂!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 05:20:22
数论证明,关于质数若2^n+1是质数(n>1),则n是2的方幂!
数论证明,关于质数
若2^n+1是质数(n>1),则n是2的方幂!
数论证明,关于质数若2^n+1是质数(n>1),则n是2的方幂!
设若n为奇数n=2k+1,k≥1
那么2^n+1=2^(2k+1)+1=2*4^k+1
由于4≡1mod3
那么4^k≡1mod3
于是3|2*4^k+1
矛盾
所以n为偶数
即：n=2k
那么2^n+1=2^(2k)+1
接下来很明显,我们要证明k为偶数或者1
否则,设k为奇数k=2r+1,r≥1
那么有2^n+1=2^(2k)+1=(2^2)*2^[(2^2)*r]+1显然被5整除,矛盾
按照上面的方法：到某一步后我们有
n=(2^t)*s,我们要证明s为偶数或者1
否则,设s为奇数s=2m+1,m≥1
那么有2^n+1=[2^(2^t)]*2^[2^(2^t)*m]+1显然被2^(2^t)+1整除,矛盾
于是得证：n为2的方幂
该命题不成立,如2^32+1(此时n=2^5)就不是质数,而是合数.证明如下:
设a=2^7,b=5,a-b^3=128-125=3,则
2^32+1=(2a)^4+1=16*a^4+1=(1+3*5)*a^4+1=(1+(a-b^3)b)*a^4+1
=(1+ab-b^4)*a^4+1=(1+ab)*a^4-a^4*b^4+1=(1+ab)a^4-(a^2b^2+1)(a...
全部展开
该命题不成立,如2^32+1(此时n=2^5)就不是质数,而是合数.证明如下:
设a=2^7,b=5,a-b^3=128-125=3,则
2^32+1=(2a)^4+1=16*a^4+1=(1+3*5)*a^4+1=(1+(a-b^3)b)*a^4+1
=(1+ab-b^4)*a^4+1=(1+ab)*a^4-a^4*b^4+1=(1+ab)a^4-(a^2b^2+1)(a^2b^2-1)
=(1+ab)a^4-(a^2b^2+1)(ab-1)(ab+1)=(1+ab)(a^4-(a^2b^2+1)(ab-1))
=641*6700417
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