满足两条直角边长均为整数且周长恰好等于面积整数倍的直解三角形的个数?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 07:28:37
满足两条直角边长均为整数且周长恰好等于面积整数倍的直解三角形的个数?
满足两条直角边长均为整数且周长恰好等于面积整数倍的直解三角形的个数?
满足两条直角边长均为整数且周长恰好等于面积整数倍的直解三角形的个数?
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这样做,直接设直角边为 x,y,那么斜边为sqrt(x^2+y^2),周长为 x+y+sqrt(x^2+y^2)=kxy/2,x,y,k均为正整数.这是个数学里数论里的一个课题,解起来比较麻烦.然后由x^2+y^2>=2xy,x+y>=2sqrtxy,得到不等式.2√xy+√2xy
设两直角边长分别为a,b (a,b均为正整数),周长是面积的k倍。
a+b+√(a^2+b^2)=kab/2
a^2+b^2=(kab/2-a-b)^2
整理,得
(ak-4)(bk-4)=8
ak-4=8 bk-4=1或ak-4=1 bk-4=8或ak-4=2 bk-4=4或ak-4=4 bk-4=2
对以上4个方程组分别进行计算:
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设两直角边长分别为a,b (a,b均为正整数),周长是面积的k倍。
a+b+√(a^2+b^2)=kab/2
a^2+b^2=(kab/2-a-b)^2
整理,得
(ak-4)(bk-4)=8
ak-4=8 bk-4=1或ak-4=1 bk-4=8或ak-4=2 bk-4=4或ak-4=4 bk-4=2
对以上4个方程组分别进行计算:
ak=12 bk=5 k=1 a=12 b=5
ak=5 bk=12 k=1 a=5 b=12
ak=6 bk=8 k=1 a=6 b=8或k=2 a=3 b=4
ak=8 bk=6 k=1 a=8 b=6 或k=2 a=4 b=3
综上,满足题意的直角三角形有3个,两直角边分别为12,5或3,4或6,8。
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