bn=(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)/(1+2+3+4+……+n)证明an是等差数列是bn是等差数列的充要条件

bn=(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)/(1+2+3+4+……+n)证明an是等差数列是bn是等差数列的充要条件
bn=(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)/(1+2+3+4+……+n)证明an是等差数列是bn是等差数列的充要条件

bn=(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)/(1+2+3+4+……+n)证明an是等差数列是bn是等差数列的充要条件
证明：先证若an是等差数列,则bn是等差数列.（充分性）
令Sn=a1+2a2+3a3+4a4+……+nan
=(a1+a2+...+an)+(a2+a3+...+an)+...+(a(n-1)+an)+an
=n个an的前n项和的一半+1个an的前n项和的一半
=n(n+1)(a1+an)/2
则bn=a1+an=2a1+(n-1)d
显然bn也为等差数列
再证若bn是等差数列,则an也是等差数列(必要性)
n(n+1)bn=2(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)
而(n+1)(n+2)b(n+1)=2[a1+2a2+3a3+4a4+……+nan+(n+1)a(n+1)]
两式相减,得：
(n+2)b(n+1)-nbn=a(n+1)
由bn是等差数列,得
a(n+1)=n[b(n+1)-bn]+2b(n+1)=nd'+2b(n+1)=2a1+nd'+nd'=2a1+2nd'
即an=2a1+2(n-1)d'=2a1-2d'+2nd'
易判断an为等差数列
其中,d和d‘分别是{an}{bn}的公差

充分性：an是等差数列，设an=kn+t，则nan=kn^2+tn，又1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)，
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
bn=[k(1^2+2^2+...+n^2)+t(1+2+3+...+n)]/(1+2+....+n)=k(n+2)/3+t
所以bn是等差数列。
必要性：bn是等差数列，设公差为d，bn(1+2...

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充分性：an是等差数列，设an=kn+t，则nan=kn^2+tn，又1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)，
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
bn=[k(1^2+2^2+...+n^2)+t(1+2+3+...+n)]/(1+2+....+n)=k(n+2)/3+t
所以bn是等差数列。
必要性：bn是等差数列，设公差为d，bn(1+2+3+...+n)=a1+2a2+3a3+4a4+……+nan
即bn*n(n+1)/2=a1+2a2+3a3+4a4+……+nan，则b(n+1)*(n+1)(n+2)/2=a1+2a2+3a3+4a4+……+nan+(n+1)a(n+1)，相减得：a(n+1)=[(n+2)b(n+1)-nbn]/2，an=[(n+1)bn-(n-1)b(n-1)]/2
a(n+1)-an=3d/2，所以an是等差数列

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必要性：{an}是等差数列，可是首项为a，公差为d，则an=a+(n-1)d
a1+2a2+3a3+4a4+……+nan=Σnan=Σ[na+n(n-1)d]=aΣn+dΣ(n²-n)=(a-d)Σn+dΣn²
=(a-d)×n(n+1)/2+d×n(n+1)(2n+1)/6
∴bn=(a-d)+d(2n+1)/3=a+2d/3×(n-1)
∴{...

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必要性：{an}是等差数列，可是首项为a，公差为d，则an=a+(n-1)d
a1+2a2+3a3+4a4+……+nan=Σnan=Σ[na+n(n-1)d]=aΣn+dΣ(n²-n)=(a-d)Σn+dΣn²
=(a-d)×n(n+1)/2+d×n(n+1)(2n+1)/6
∴bn=(a-d)+d(2n+1)/3=a+2d/3×(n-1)
∴{bn}是以a为首项，2d/3为公差的等差数列
充分性：设{bn}首项为a，公差为d，令Sn=a1+2a2+3a3+4a4+……+nan，
则Sn=bn×n(n+1)/2=[a+(n-1)d]×n(n+1)/2
S(n-1)=[a+(n-2)d]×n(n-1)/2
an=[Sn-S(n-1)]/n=(n+1)[a+(n-1)d]/2-(n-1)[a+(n-2)]/2=a+3d/2×(n-1)
所以{an}是以a为首项，3d/2为公差的等差数列
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这类题目的一般做法是：已知一个数列是等差数列，就设它的首项为a，公差为d，把
an=a+(n-1)d代进去，然后化简得到另外一个数列的通项公式

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是这个吗?Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
(1)Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
所以 S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
相减
Sn-S(n-1)=an=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)-1/2*(1/2)^(...

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是这个吗?Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
(1)Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
所以 S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
相减
Sn-S(n-1)=an=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)-1/2*(1/2)^(n-2)=(1/2)^(n-1)
2an=a(n-1)+(1/2)^(n-1)
同乘以2^(n-2)
an*2^(n-1)-a(n-1)*(2)^(n-2)=1/2
即数列{an*2^(n-1)}是以公差为1/2的等差数列,
首项a1*2^0=a1=S1=-a1-(1/2)^(1-1)+2=1-a1,a1=1/2
所以
an*2^(n-1)=a1+(n-1)*1/2=n/2
an=n/2*(1/2)^(n-1)=n*(1/2)^n
bn=2^n*an=n，
所以bn是等差数列
(2)Cn=(n+1)/n*an=Cn=(n+1)/n*(n*(1/2)^n)=(n+1)*(1/2)^n
Tn=c1+c2+.....+cn=2*(1/2)+3(1/2)^2+4(1/2)^3+......+(n+1)*(1/2)^n
1/2Tn=1/2(c1+c2+.....+cn)=2*(1/2)^2+3(1/2)^3+4(1/2)^4+......+(n+1)*(1/2)^(n+1)
相减得
1/2Tn=2*(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+......+(1/2)^n -(n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+(1/2)(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-(n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+1-(1/2)^n-(n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2-(n+3)/2*(1/2)^n.
太累人,本想摆渡一下,发现答案是错的,就化了点时间算了一下,希望对你,对后人皆有帮助!

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