作业帮设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当f(1/3)=1 时,f(x)>0[1] 求f(0)的值 [2]判断函数的奇偶性 [3]若果f(x)+f(2+x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 04:46:31
设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当f(1/3)=1 时,f(x)>0[1] 求f(0)的值 [2]判断函数的奇偶性 [3]若果f(x)+f(2+x)
设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当f(1/3)=1 时,f(x)>0
[1] 求f(0)的值 [2]判断函数的奇偶性 [3]若果f(x)+f(2+x)
设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当f(1/3)=1 时,f(x)>0[1] 求f(0)的值 [2]判断函数的奇偶性 [3]若果f(x)+f(2+x)
1.令x=y=0,得到
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),
f(0)=0；
2.0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),
f(-x)=-f(x),
所以函数为奇函数；
3.（需要一个条件：x>0时,f(x)>0,是否少打了）
x>0时,f(x)>0,
设任意x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0,
即f(x)为增函数,
由f(1/3)=1,f(2/3)= f(1/3+1/3)=f(1/3)+f(1/3)=1+1=2
即f(2/3)=2
f(x)+f(2+x)<2,f(x+2+x)<2, f(2x+2)<2=f(2/3)
2x+2<2/3, x<-2/3.
即x的取值范围是：x<-2/3.
(如果少的是x<0时,f(x)>0, 则同样可以解决,后面的不等号反向即可）
(1)f(0)=2f(0),则f(0)=0
(2)f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1),奇函数
（3）f(2/3)=2f(1/3)=2, f(1)=f(1/3)+f(2/3)=3, f(2)=6
原式可化为2f(x)+f(2）<2,所以f(x)<-2,则x<-2/3
（1）令x=0,y=0，那么f(x+y)=f(x)+f(y)，就有，f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
（2）令y=-x，那么f(x+y)=f(x)+f(y)，就有f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数
第三问可能有点麻烦。
你先看前面两问吧。