试说明：当x为整数时,（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1是一个整数的完全平方数.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:42:31

试说明：当x为整数时,（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1是一个整数的完全平方数.
试说明：当x为整数时,（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1是一个整数的完全平方数.

试说明：当x为整数时,（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1是一个整数的完全平方数.
原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=[(x²+5x)+4][(x²+5x)+6]+1
=(x²+5x)²+10(x²+5x)+24+1
=(x²+5x)²+10(x²+5x)+25
=(x²+5x+5)²
所以是一个整数的完全平方数.

（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x²+5x+4)(x²+5x+6)+1
=(x²+5x)²+10(x²+5x)24+1
=(x²+5x)²10(x²+5x)+25
=(x²+5x+5)²
∴当x为整数时，（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1是一个整数的完全平方数

（x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
令x2+5x为T，则原代数式为（T+4）（T+6）+1，分解的T2+10T+25，即（T+5）2
因为x为整数，所以T+5为整数，即为即为所证

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