已知函数f(x)=ln(x+1)-x,试证明:1-1/(x+1)≤ln(x+1)≤x

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 00:07:11

已知函数f(x)=ln(x+1)-x,试证明:1-1/(x+1)≤ln(x+1)≤x
已知函数f(x)=ln(x+1)-x,试证明:1-1/(x+1)≤ln(x+1)≤x

已知函数f(x)=ln(x+1)-x,试证明:1-1/(x+1)≤ln(x+1)≤x
f(x)=ln(x+1)-x(x>-1) f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)
若-1

欲证1-1/(x+1)≤ln(x+1)≤x
即证e^[1-1/(x+1)]≤e^[ln(x+1)]≤e^x
即证-e^[1/(x+1)]≤x+1≤e^x.
因为函数f(x)定义域为x>-1,
所以-e^[1/(x+1)]为负数恒≤0,故-e^[1/(x+1)]≤x+1,
而x+1≤e^x在函数图象上已知,
证毕