解不等式4≤|x2-4x|

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 19:21:45

解不等式4≤|x2-4x|
解不等式4≤|x2-4x|

解不等式4≤|x2-4x|
【1】
先解|x²－4x|≥4部分.
此部分等价于x²－4x≥4……①或x²－4x≤－4……②.
由①得x²－4x＋4≥8,即（x－2）²≥8.
这样说明|x－2|≥2√2,
也就是x－2≥2√2或x－2≤－2√2.
所以①的解集是x≤2－2√2或x≥2＋2√2.
由②得x²－4x＋4≤0,即（x－2）²≤0.
这样说明|x－2|≤0,显然只有x＝2.
所以②的解集是x＝2.
这样|x²－4x|≥4部分的解集是x≤2－2√2或x＝2或x≥2＋2√2.
【2】
再解|x²－4x|＜5部分.
此部分等价于－5＜x²－4x＜5,
也就是等价于x²－4x＞－5……③且x²－4x＜5……④.
由③得x²－4x＋4＞－1,即（x－2）²＞－1,
显然③的解集是全体实数.
由④得x²－4x＋4＜9,即（x－2）²＜9,
这样说明|x－2|＜3,
也就是－3＜x－2＜3,
这样④的解集是－1＜x＜5.
这样|x²－4x|＜5部分的解集是－1＜x＜5.
【3】
综合这两部分的解集（注意是且的关系,不是或的关系）,
可以得到原不等式的解集是：
－1＜x≤2－2√2或x＝2或2＋2√2≤x＜5.
也可以表示为x∈（－1,2－2√2]∪{2}∪[2＋2√2,5） .

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