设x,y是正实数,则代数式x/2x+y +2y/x+2y 的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 14:06:23

设x,y是正实数,则代数式x/2x+y +2y/x+2y 的最大值
设x,y是正实数,则代数式x/2x+y +2y/x+2y 的最大值

设x,y是正实数,则代数式x/2x+y +2y/x+2y 的最大值
z=x/(2x+y)+2y/(x+2y)=(x²+6xy+2y²)/(2x²+5xy+2y²)
分子分母同时除以y²可得
z=(x²/y²+6x/y+2)/(2x²/y²+5x/y+2)
令x/y=t可得
z=(t²+6t+2)/(2t²+5t+2),(t>0)
求导可得
z'=(-7t²-4t+2)/(2t²+5t+2),(t>0)
令z'=0可得
t=(3√2-2)/7
∴当x/y=(3√2-2)/7时z=x/(2x+y)+2y/(x+2y)取得最大值(43-14√2)/21