作业帮怎样证明ab+bc+ac大于等于8abc原题为a,b,c都是正数，且a+b+c=1,求证：（1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 08:43:25
怎样证明ab+bc+ac大于等于8abc原题为a,b,c都是正数，且a+b+c=1,求证：（1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc
怎样证明ab+bc+ac大于等于8abc
原题为a,b,c都是正数，且a+b+c=1,求证：（1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc
怎样证明ab+bc+ac大于等于8abc原题为a,b,c都是正数，且a+b+c=1,求证：（1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc
如果a,b,c为任意正数的话,这个不等式并不成立
例如,取a=b=c=1,则ab+bc+ac=3
楼上的回答，在ab+bc+ac-abc>=8abc这里略微有一点点跳步，我稍微补充一下。
由于a、b、c都是正数，所以就是要证1/a+1/b+1/c>=9，再注意到a+b+c=1，就只要(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9。这个式子很好证，直接展开，所有形如a/b+b/a的地方都直接大于等于2就行了，具体来说，
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=3+a/...
全部展开
楼上的回答，在ab+bc+ac-abc>=8abc这里略微有一点点跳步，我稍微补充一下。
由于a、b、c都是正数，所以就是要证1/a+1/b+1/c>=9，再注意到a+b+c=1，就只要(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9。这个式子很好证，直接展开，所有形如a/b+b/a的地方都直接大于等于2就行了，具体来说，
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b
>=3+2+2+2
=9。
楼上的那后两行不知道是干什么用的，是不是没分清楚要干什么。
收起
∵a+b+c=1,
∴（1-a)(1-b)(1-c)=1-a-b-c+ab+bc+ac-abc=ab+bc+ac-abc≥8abc
又∵a,b,c都是正数
∴ab+bc+ac≥ab+bc+ac-abc≥8abc