作业帮有一函数,y=x的 x分之一次方,求它的一阶与二阶导数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 03:53:01
有一函数,y=x的 x分之一次方,求它的一阶与二阶导数
有一函数,y=x的 x分之一次方,求它的一阶与二阶导数
有一函数,y=x的 x分之一次方,求它的一阶与二阶导数
(1) 因为 y=x^(1/x),
两边取对数,得
ln y=(1/x)*ln x.
两边求导,得
(y')/y=(-1/ x^2)*ln x +(1/x)(1/x)
=(1-ln x)/(x^2).
所以 (y')=y(1-ln x)/(x^2)
=x^(1/x -2) *(1-ln x).
(2) 设 g(x)=x^(1/x -2),
两边取对数,得
ln g(x)=(1/x -2)*ln x.
两边求导,得
g'(x)/g(x)=(-1/ x^2)*ln x +(1/x -2)(1/x)
=(1-2x-ln x)/(x^2).
所以 g'(x)=x^(1/x -4) *(1-2x-ln x).
所以 (y'')=[g(x)*(1-ln x)]'
=x^(1/x -4)*(1-2x-ln x)*(1-ln x)
+x^(1/x -2)*(-1/x)
=x^(1/x -4)*[(1-2x-ln x)*(1-ln x)-x]
=x^(1/x -4)*[1-3x-2ln x+ 2x lnx +(ln x)^2].
两边取自然对数，然后求导，左边变为了， y’/y=-1/x²lnx+1/x²，解出y’就是一阶导数，然后再按照此法继续求一次导数。
这是隐函数求导，一般有三种方法可以使用，一、可以用公式直接套套就行，二、可以用微分不变性求，三、也可以用此题这种方法解，当遇到y时要将它当做x的函数来求，即y’≠1...
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两边取自然对数，然后求导，左边变为了， y’/y=-1/x²lnx+1/x²，解出y’就是一阶导数，然后再按照此法继续求一次导数。
这是隐函数求导，一般有三种方法可以使用，一、可以用公式直接套套就行，二、可以用微分不变性求，三、也可以用此题这种方法解，当遇到y时要将它当做x的函数来求，即y’≠1
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