作业帮求助一道高数题,关于微分方程的应用设时刻t的国民收入为y=y(t),国名债务为g=g(t),且dy/dt=ay,dg/dt=by,y(0)=y*,g(0)=g* ,其中a＞0,b＞0为常数,（1）求y(t)与g(t)的表达式（2）求lim [g(t)/y(t)]t→+∞
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 07:03:35
求助一道高数题,关于微分方程的应用设时刻t的国民收入为y=y(t),国名债务为g=g(t),且dy/dt=ay,dg/dt=by,y(0)=y*,g(0)=g* ,其中a＞0,b＞0为常数,（1）求y(t)与g(t)的表达式（2）求lim [g(t)/y(t)]t→+∞
求助一道高数题,关于微分方程的应用
设时刻t的国民收入为y=y(t),国名债务为g=g(t),且dy/dt=ay,dg/dt=by,y(0)=y*,g(0)=g* ,其中a＞0,b＞0为常数,
（1）求y(t)与g(t)的表达式
（2）求lim [g(t)/y(t)]
t→+∞
求助一道高数题,关于微分方程的应用设时刻t的国民收入为y=y(t),国名债务为g=g(t),且dy/dt=ay,dg/dt=by,y(0)=y*,g(0)=g* ,其中a＞0,b＞0为常数,（1）求y(t)与g(t)的表达式（2）求lim [g(t)/y(t)]t→+∞
（1）由dy/dt=ay,y(0)=y*得到：y(t)=y*e^(at),再代入dg/dt=by得到：g(t)=(by*/a)*e^(at)+g*-by*/a.
（2）g(t)/y(t)=b/a+(g*/y*-b/a)*e^(-at),对于t取极限,后面那一项由于a>0,故而极限为0,从而剩下首项b/a,这也就是极限值~^^
(1)dy/dt=ay 变量可分离=> dy/y=adt => lny = at+lnC, y= Ce^(at), 又y(0)=y*, y=y* e^(at),
dg/dt=by= by* e^(at), 积分得 g=( by*/a) e^(at)+C1 , 又g(0)=g* ，g= ( by*/a) e^(at)+(g*- by*/a) .
(2) g(t)/y(t)=( b/a) +(g*/y* - b/a) e^(-at)
lim [g(t)/y(t)] = b/a
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