有没有勾股定理的证明方法,10种以上,txt格式（带图）

有没有勾股定理的证明方法,10种以上,txt格式（带图）
有没有勾股定理的证明方法,10种以上,txt格式（带图）

有没有勾股定理的证明方法,10种以上,txt格式（带图）

证法1

　　作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过点C作AC的延长线交DF于点P. 

　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, 

　　∴ ∠EGF = ∠BED, 

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, 

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, 

　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c, 

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° 

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, 

　　∴ ∠ABC = ∠EBD. 

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 

　　即 ∠CBD= 90° 

　　又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°, 

　　BC = BD = a. 

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 

　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 

　　设多边形GHCBE的面积为S,则 

　　A2+B2=C2 

证法2

　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 

　　过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 

　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点 

　　F作FN⊥PQ,垂足为N. 

　　∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC, 

　　∴ ∠MPC = 90°, 

　　∵ BM⊥PQ, 

　　∴ ∠BMP = 90°, 

　　∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°. 

　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°, 

　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, 

　　∴ ∠QBM = ∠ABC, 

　　又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, 

　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 

　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2 

证法3

　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形. 

　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, 

　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, 

　　∴FI=a, 

　　∴G,I,J在同一直线上, 

　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c, 

　　∠CJB = ∠CFD = 90°, 

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD , 

　　同理,RtΔABG ≌ RtΔADE, 

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE 

　　∴∠ABG = ∠BCJ, 

　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, 

　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°, 

　　∵∠ABC= 90°, 

　　∴G,B,I,J在同一直线上, 

　　A2+B2=C2. 

证法4

　　作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 

　　BF、CD. 过C作CL⊥DE, 

　　交AB于点M,交DE于点L. 

　　∵ AF = AC,AB = AD, 

　　∠FAB = ∠GAD, 

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, 

　　∵ ΔFAB的面积等于, 

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 

　　的面积的一半, 

　　∴ 矩形ADLM的面积 =. 

　　同理可证,矩形MLEB的面积 =. 

　　∵ 正方形ADEB的面积 

　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 

　　∴ 即A2+B2=C2 

证法5（欧几里得的证法）

　　《几何原本》中的证明 

　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等. 

　　在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下： 

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形. 

　　其证明如下： 

　　设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC.因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD.因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB&sup2；.同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；.把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC.由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2；.此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的 

证法6（欧几里德（Euclid）射影定理证法）

　　如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高 

　　通过证明三角形相似则有射影定理如下： 

　　（1）（BD）2;=AD•DC, 

　　（2）（AB）2;=AD•AC , 

　　（3）（BC）2;=CD•AC.　 

　　由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD•AC+CD•AC =（AD+CD）•AC=（AC）2；, 

　　图1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2,这就是勾股定理的结论. 

图1

证法七（赵爽弦图）

　　在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为（b-a）2.于是便可得如下的式子： 

　　4×（ab/2）+（b-a）2 =c2；　 

　　化简后便可得：a2 +b2 =c2; 

　　亦即：c=(a2 +b2 )1/2 

　　勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用.正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称. 

　　中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.中国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理.在公元前1000多年,据记载,商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五.既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五.两矩共长二十有五,是谓积矩.”因此,勾股定理在中国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日. 

　　在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”.还有的国家称勾股定理为“平方定理”. 

　　在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 

　　前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）. 

　　1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页. 

　　2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系.刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期,255-281页. 

　　3. 李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章.刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾,1991年7月, 227-234页. 

　　4. 李继闵：商高定理辨证.刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页. 

　　5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明.刊於《数学传播》20卷, 台湾,1996年9月第3期, 20-27页 

证法8（达芬奇的证法）

达芬奇的证法

　　三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点.观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形.然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角. 

　　证明： 

　　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF•OE 

　　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'•D'E' 

　　因为S1=S2 

　　所以OF2+OE2+OF•OE=E'F'2+C'D'•D'E' 

　　又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 

　　所以OF2+OE2=E'F'2 

　　因为E'F'=EF 

　　所以OF2+OE2=EF2 

　　勾股定理得证. 

证法9

　　从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下： 

b ( a + b )= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(b - a) 

　　矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直 

　　角三角形. 

　　（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 

　　2b2 - b2 + a2 = c2; 

　　a2 + b2 = c2; 

　　注：根据加菲尔德图进一步得到的图形. 

证法10

　　在Rt三角形ABC中,角C=90度,作CH垂直于AB于H. 

　　令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d 

　　1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c•a/c+b/c•b/c 

　　=(a^2+b^2)/c^2=1 

　　所以a^2+b^2=c^2 

　　得证.