作业帮fx在点x0的某一领域内有三阶连续导数,若f'x0=f''x=0,而f'''x0不等于0.问X0是否为极值点?(x0,f(x0))是否为拐点?关键是是否为极值点,请给予详细的证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 01:33:48
fx在点x0的某一领域内有三阶连续导数,若f'x0=f''x=0,而f'''x0不等于0.问X0是否为极值点?(x0,f(x0))是否为拐点?关键是是否为极值点,请给予详细的证明.
fx在点x0的某一领域内有三阶连续导数,若f'x0=f''x=0,而f'''x0不等于0.
问X0是否为极值点?(x0,f(x0))是否为拐点?
关键是是否为极值点,请给予详细的证明.
fx在点x0的某一领域内有三阶连续导数,若f'x0=f''x=0,而f'''x0不等于0.问X0是否为极值点?(x0,f(x0))是否为拐点?关键是是否为极值点,请给予详细的证明.
结论如下：
Xo点不是极值点,而是拐点!
判断方式如下：
f(x)在Xo邻域内的二阶导数为：f''(xo）=lim[f'(x)-f'(xo)]/(x-xo)=lim f'(x)/(x-xo) x→xo
在xo点一阶导数为0的情况下,假如xo点的二阶导数大于0,根据极限的保号性,在xo的邻域内,肯定存在f'(x)/(x-xo) >0（当x在xo右侧,一阶导数大于0,单调递增；左侧,一阶导数小于0,单调递减）,显然此时xo点为极小值点；当xo点的二阶导数小于0,肯定存在xo邻域: f'(x)/(x-xo) <0( 当x在xo右侧,一阶导数小于0,左侧,一阶导数大于0）,此时xo点为极大值点.
当二阶导数等于0,此时一阶导数在驻点两侧不变号,经过xo点单调性保持不变,故非极值点.
判断xo是拐点理由：
f(x)在xo点的三阶导数：f'''（xo)=lim[f"(x)-f"(xo)]/(x-xo)=limf''(x)/(x-xo) x→xo
上式是由xo二阶导数为0推得,当xo三阶导数不为零时,假设大于0,根据极限的保号性,在xo的某邻域内必有：f''(x)/(x-xo) >0,可得出xo右侧二阶导数大于0为凹,xo左侧二阶导数小于0为凸,故xo为拐点；当三阶导数小于0,同理也能得出x0为拐点的结论.只有在三阶导数=0时,才能说xo非拐点.
以上证明仅供参考,如有疑问可继续追问!
f（x）=f（x0）+f'(x0)*(x-x0)+1/2!f''(x0)*(x-x0)^2+1/3!f'''(x0)*(x-x0)^3+……
即泰勒展开
在x0附近，由条件得f=f(x0)+1/6*f'''(x0)^(x-x0)^3+……
显然，f在x0处不是极值点：它有单调性。