作业帮设x,y为正整数,p是奇质数,且x分之一+y分之一=p分之二,求x+y.比赛试题= =提高班回家作业
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 23:13:35
设x,y为正整数,p是奇质数,且x分之一+y分之一=p分之二,求x+y.比赛试题= =提高班回家作业
设x,y为正整数,p是奇质数,且x分之一+y分之一=p分之二,求x+y.
比赛试题= =提高班回家作业
设x,y为正整数,p是奇质数,且x分之一+y分之一=p分之二,求x+y.比赛试题= =提高班回家作业
当X = Y时,显然有 1/P + 1/P = 2/P
X + Y = 2P ,不详细讨论.
另,当X ≠ Y时：
(X + Y) / XY = 2/P
2XY = P(X +Y)
P是奇质数,则X+Y为偶数,X、Y同奇偶性、只能同为
XY = P * (X+Y)/2
必有某数含因数P,令X = AP
AY = (AP+Y)/2
2AY = AP + Y
Y = AP/(2A-1)
到此可知,A、2A-1互质,2A-1整除P,又P是质数,则2A-1=P,A = Y = (P+1)/2
X = (P+1)/2 * P = P(P+1)/2
X + Y = P(P+1)/2 + (P+1)/2 = (P+1)² / 2
例如按此有
2/7 = 1/4 + 1/28
4+8 = 32 = (7+1)²/2
1/x+1/y=(x+y)/xy=2/p
又p是奇质数，所以由(x+y)/xy到2/p一定约过分
且约了x或y，不妨认为约了y,
则有(x+y)/xy=2y/py
从而得x=y
于是1/x+1/y=1/y+1/y=2/y=2/p
也就y=p
则x+y=2p为什么一定约分且约X,Y如果约不去x或y 那分母就含有x*y则一个不是奇质数的数啦，就...
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1/x+1/y=(x+y)/xy=2/p
又p是奇质数，所以由(x+y)/xy到2/p一定约过分
且约了x或y，不妨认为约了y,
则有(x+y)/xy=2y/py
从而得x=y
于是1/x+1/y=1/y+1/y=2/y=2/p
也就y=p
则x+y=2p
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（1）若x=y，则1/x+1/y=2/x=2/p,则x=y=p,x+y=2p；
（2）对x不等于y，有(x+y)/xy=2/p（*）.
由x，y为正整数知x>=1,y>=1,且x不等于y，则x+y>2.
所以，x+y和xy有公因子r，即x+y=2r，xy=pr（r为正整数，且r>1)，
则x+y为偶数，x和y同奇偶.
1）若x,y均为奇数，设x=2k-1，y...
全部展开
（1）若x=y，则1/x+1/y=2/x=2/p,则x=y=p,x+y=2p；
（2）对x不等于y，有(x+y)/xy=2/p（*）.
由x，y为正整数知x>=1,y>=1,且x不等于y，则x+y>2.
所以，x+y和xy有公因子r，即x+y=2r，xy=pr（r为正整数，且r>1)，
则x+y为偶数，x和y同奇偶.
1）若x,y均为奇数，设x=2k-1，y=pq（k为正整数，q为正奇数）
代入（*）式得p=（2q-1）x/q=(2-1/q)x,
1* 若q=1，则p=x，又y=p*1=p=x，舍；
2* 若q>1,必有x=q满足p既为整数又是奇质数的必要条件，
即x=q,p=2q-1=2x-1=4k-3(k>1),
则x=(p+1)/2,y=pq=px,
所以x+y=(p+1)x=(p+1)^2/2;
2）若x,y均为偶数，设x=2k，y=2tp（k，t为正整数，x
则x+y/xy=k+pt/2pkt=2/p
解得p=（4t-1)k/t=(4-1/t)k,
1* 若t=1，则p=3k,
又p为奇质数，所以k也为1,即p=3;
2* 若t>1,必有k=t满足p既为整数又是奇质数的必要条件，
即k=t,p=4t-1=4k-1(k>1),
则k=(p+1)/4,
所以x+y=2k+2pt=2k+2pk=2k(p+1)=(p+1)^2/2.
综上，x+y=(p+1)^2/2.
评注：该法不如令x=ap迅速，因为讨论了x，y的奇偶性，使问题复杂化了。
观察分类讨论的结果p=4k-1（k>=1)或p=4k-3(k>1)可以看出：
两个结果可以合并，即p=2k-1（k>1)，p为任意奇质数。
另外，要使p为质数，k可取1,2,3,5,6,8,11……无穷多个，
但k=4,7,9,10,……时p为合数，不成立！
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