极坐标求解二重积分麻烦把步骤里积分上下限写出来

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 12:16:46

极坐标求解二重积分麻烦把步骤里积分上下限写出来
极坐标求解二重积分

麻烦把步骤里积分上下限写出来

极坐标求解二重积分麻烦把步骤里积分上下限写出来
很明显,积分区域为y=x^2与y=1所围成的区域
另x=rcosθ,y=rsinθ,其中0≤θ≤π
0≤θ≤π/4,或3π/4≤θ≤π过原点,倾角为θ的直线方程为y=xtanθ,与y=x^2联立,得到交点的坐标为[tanθ,(tanθ)^2],则边界曲线上的点到原点的距离为|tanθ|·√[1+(tanθ)^2]=|tanθ·secθ|=sinθ/(cosθ)^2
所以此时转换为极坐标的积分为

π/4<θ<3π/4时,边界曲线上的点,纵坐标恒为1,则到原点的距离为1/sinθ
所以此时转换为极坐标的积分为

先确定积分区域，为y=x^2，y取值范围为0~1.对积分区域进行极坐标表示。由原点引一条射线可知积分区域边界有两个。分为两个区域。即0~pi/4和pi/4~pi/2。（由于对称性考虑半个区域）。ρ的上下限根据θ的取值决定。pi/4~pi/2时取0~1/sinθ。当0~pi/4时边界为y=x^2可用以下方法球上下限。原函数为y=x^2，y=ρsinθ，x=pcosθ，代入。则有ρsinθ=（pcosθ）^2。求得ρ=0；ρ=sinθ/cosθ^2即为其上下限。最后得：

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