1.已知:a,b,c,d 都是实数 .求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd).

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 06:14:06

1.已知:a,b,c,d 都是实数 .求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd).
1.已知:a,b,c,d 都是实数 .求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd).

1.已知:a,b,c,d 都是实数 .求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd).
证明:若证 (a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd).
只要证(a^2+b^2)(c^2+d^2) -(ac+bd).≥0 ,展开
即 (ac)^2-ac+(bc)^2+(bd)^2-bd≥0
(ac-1/2)^2+(bc)^2+(bd-1/2)^2≥1/2
由此可见,
(ac-1/2)^2≥(1/2)^2,(bc)^2≥0,(bd-1/2)^2≥(1/2)^2
所以,
(ac-1/2)^2+(bc)^2+(bd-1/2)^2≥(1/2)^2+(1/2)^2=1/2
得证.

(a^2+b^2)(c^2+d^2)
= (a^2c^2+b^2d^2)+(a^2d^2+b^2d^2)
≥ (a^2c^2+b^2d^2)+2abcd
= (ac+bd)^2