作业帮简单的平面几何,只要第三问的过程.作答立刻给好评.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:20:22
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郭敦顒回答：
在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,
PA=AB=BC,E是PC的中点,
△ABC为等边△,设PA=AB=BC=AC=1,
∠CAD=90°－60°=30°,∠ACD=90°,
AD=AC/ cos30°=1/[（1/2）√3]=（2/3）√3,
CD=AD/2=（1/3）√3,PD=√（PA2+AD2）=√（1+4/3）=（1/3）√21,
PD=（1/3）√21.
PC=√（PA2+AC2）=√（1+1）=√2,
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成角的大小,
∵PA⊥底面ABCD,PA⊥AC,PA⊥AB,
∴AB⊥平面PAD,∴∠APB就是PB和平面PAD所成的角.
∵PA=AB,△APB是等腰Rt⊿,
∴∠APB=45°,PB和平面PAD所成的角是45°.
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD,
∵AP=AC,E是PC的中点,
∴AE⊥PC,AE=PE-CE=（1/2）√2
PC=√（PA2+AC2）=√（1+1）=√2,PE=CE=（1/2）√2,
取PD中点N,连AN,则
AN=PN=DN=PD/2=（1/6）√21,
EN=CD/2=（1/6）√3,
∴AE2=[（1/2）√2] 2=1/2,EN 2=[（1/6）√3] 2=1/12,
AE 2+EN 2=1/2+1/12=7/12,
AN 2=[（1/6）√21] 2=7/12,
∴AE2+EN2=AN2,
按勾股定理△AEN是Rt⊿,AE⊥EF,
前已证AE⊥PC,
∴AE⊥平面PCD.
（Ⅲ）求二面角A—PD—C的正弦值
在平面PAD上作AM⊥PD于M,
tan∠APD=AD/PA=[（2/3）√3]/1=1.1547,∠APD=49.1066°
PM=PA cos49.1066°=0.6547,
AM= PA sin 49.1066°=0.7559,
作MF⊥PC于F；
CD=AD/2=（1/3）√3,PC=√2,∠PCD=90°,
tan∠CPD=CD/PC=[（1/3）√3]/√2=（1/6）√6=040825,
∠CPD=22.2076°,
PF=PM/ cos22.2076°=0.6547/0.92582=07071
∵PE=（1/2）√2=0.7071,
∴PF=PE,F重合于E,∴EM⊥PD,
∴∠AME是二面角A—PD—C的平面角,
在△AME中,AE=（1/2）√2,AM=0.7559,
EM=PEsin22.2076°=07071×0.378=0.2673
按余弦定理：cos∠AME=（AM²+EM²－AE²）/（2AM•EM）
cos∠AME=（05714+0.0714－0.5）/（2×0.7559×0.2673）=
0.1428/0.4041=03534,
∴cos∠AME=03534,∠AME=69.305°
sin∠AME=0.9355,
二面角A—PD—C的正弦值为0.9355.
P
M
N
A E （F） D
B C 