作业帮已知1/a,1/b,1/c,成等差数列,求证（b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c也是等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 12:41:14
已知1/a,1/b,1/c,成等差数列,求证（b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c也是等差数列
已知1/a,1/b,1/c,成等差数列,求证（b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c也是等差数列
已知1/a,1/b,1/c,成等差数列,求证（b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c也是等差数列
1/a,1/b,1/c成等差数列
则 2/b=1/a+1/c
同时要证明(b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c也成等差数列,
即证明
2*(a+c)/b=(b+c)/a+(a+b)/c
左边=(2/b)*(a+c)=(1/a+1/c)*(a+c)=2+a/c+c/a
右边=a/c+c/a+b*(1/a+1/c)=2+a/c+c/a
所以左边=右边
所以(b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c成等差数列
1/a,1/b,1/c,成等差数列
2/b=1/a+1/c=(a+c)/ac
(b+c)/a+(a+b)/c
=(bc+c^2+a^2+ab)/ac
=[(a^2+c^2)+(ab+bc)]/ac
=[(a+c)^2-2ac+b(a+c)]/ac
=(a+c)^2/ac-2+b(a+c)/ac
由(a+c)/ac=2/b
所以上式=(a+c)*2/b-2+b*2/b
=2(a+c)/b-2+2
=2(a+c)/b
所以(b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c也是等差数列
因为1/a,1/b,1/c,成等差数列，所以，2/b=1/a+1/c=(a+c)/ac,
即2ac=ab+bc
因为2(a+c)/b=(a+c)/ac×（a+c）=【a∧2+2ac+c∧2】/ac= [a∧2+ ab+bc+c∧2]/ac=[a(a+b)+b(b+c)]/ac=（b+c)/a+(a+b)/c
即证，（b+c)/a,(a+c)/b,(a+b)/c也是等差数列