作业帮什么是数学的第三次危机?能具体点吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 12:09:04
什么是数学的第三次危机?能具体点吗?
什么是数学的第三次危机?能具体点吗?
什么是数学的第三次危机?能具体点吗?
【数学的第三次危机】
在科学技术中,当一种反常现象与通常理论发生冲突时,就会出现理论方面的危机.在数学发展史上,已经经历了三次危机: 公元前5世纪,由于古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了无理数而与该学派所信奉的"一切数皆可用有理数来表示"相矛盾,从而导致了第一次的危机; 在18世纪,由于牛顿,莱布尼兹等人在早期微积分工作中缺乏坚实的理论基础而出现了第二次危机; 到了19世纪下叶,康托创立了集合论,按理这是数学史上的一大进步.但是在集合论的研究过程中,却出现了数学史上的第三次危机.这次危机是由于集合论的悖论所引起的.所谓悖论就是逻辑矛盾.集合论本来是论证十分严格的一个数学分支.1903年,英国逻辑学家,数学家,诺贝尔和平奖获得者罗素却对集合论提出了以他的名字命名的"罗素悖论".后来,他用一个"理发师悖论"来形象地说明自己的悖论: 一个乡村理发师宣布一项原则: 他给而且只给本村那些不给自己刮脸的人刮脸.于是就产生了一个问题: 他给自己刮脸吗? 很显然,在逻辑上,他无论怎样做,都会违背自己的原则.用集合论的语言可以把这一悖论表述如下: N是一个集合,它是由那些不属于元素x自身的元素组成,即N={x|x不属于x}.那么,N是否属于集合N呢? 显然,无论在什么情况下都是自相矛盾的.由于19世纪末严格的微积分理论的建立,第一,二次的危机已经解决.然而,建立严格的微积分的理论基础是集合论,而集合论的诞生却又偏偏出现了"罗素悖论",因而数学面临着更严重的危机,其理论基础也发生了动摇.20世纪初,罗素悖论构成的危机确实震撼了国际数学界,但是,有危机并非总是坏事,在科学中,理论的突破是通过科学革命实现的,而科学革命则往往是由危机促成的.危机是科学中新理论出现的前奏.后来的事实也证明了这一点.罗素悖论的提出,促使
更多的科学家去研究集合论的无矛盾问题,从而产生了数理逻辑的一个重要分支------ 公理集合论.目前已形成了几个学派,各有各的看法,也各有各的道理.众说纷纭,莫衷一是.正如实现的其它分支一样,还有不少重大课题有待人们去发现和研究.
第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。
假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。
如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈...
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第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。
假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。
如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。
如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。
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