作业帮证明：数列｛an｝满足an=n+1/(n+3)^2,n∈N+,则当n≥2时,有an
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 18:36:34
证明：数列｛an｝满足an=n+1/(n+3)^2,n∈N+,则当n≥2时,有an
证明：数列｛an｝满足an=n+1/(n+3)^2,n∈N+,则当n≥2时,有an<1/8
证明：数列｛an｝满足an=n+1/(n+3)^2,n∈N+,则当n≥2时,有an
这题只要证明an是逐级递减的就行了
任取n≥2
则a(n+1)=(n+2)/(n+4)^2
以下证明(n+1)/(n+3)^2＞(n+2)/(n+4)^2
因为分子分母都是正数,所以两边同乘以公分母(n+3)^2(n+4)^2得
只要证(n+1)(n+4)^2＞(n+2)(n+3)^2
移项展开整理得
只要证n^2+3n-2＞0
而当n≥2时上式显然成立
所以an＞a(n+1)成立
所以an的最大值为a2=3/25＜1/8
所以当n≥2时,有an<1/8
欲证an<1/8.即证8n+8<(n+3)^2.即n^2-2n+1>0，(n+1)^2>=0，n>1时，恒有(n+1)^2>1.所以an<1/8
整个思路是，1 证明它是递减数列；2 证实当n=2是，an已经比1/8小了
a(n+1)-an
=(n+2)/(n+4)^2-(n+1)/(n+3)^2
=[(n+2)(n+3)^2-(n+1)(n+4)^2]/(n+4)^2(n+3)^2
显然分母大于0
分子=(n+2)(n+3)^2-(n+1)(n+4)^2
=(n+2)(n^2+6n+9)-(n+1)(n^2+8n+16)
=n^3+8n^2+21n+18-(n^2+...
全部展开
a(n+1)-an
=(n+2)/(n+4)^2-(n+1)/(n+3)^2
=[(n+2)(n+3)^2-(n+1)(n+4)^2]/(n+4)^2(n+3)^2
显然分母大于0
分子=(n+2)(n+3)^2-(n+1)(n+4)^2
=(n+2)(n^2+6n+9)-(n+1)(n^2+8n+16)
=n^3+8n^2+21n+18-(n^2+9n^2+24n+16)
=-n^2-3n+2
=-(n+3/2)^2+17/2
显然n>=2递减
n=2,分子<0
所以n>=2,分子<0
所以a(n+1)
而a2=3/25<1/8
所以an<=a2<1/8
收起
经配方整理，可得an=(n+1)/[(n+1)+2]^2=1/[(n+1)+4/(n+1)+4],令n+1=t，令y=(n+1)+4/(n+1)=t+4/t,且t>=3,在t的定义域里，y为单调递增函数，所以y>4,y+4>8,1/(y+4)<1/8,而1/(y+4)=an<1/8
不行就用数学归纳法，因为n是整数，一定行的！