作业帮只是其中有1步不明白,请指出我疑点的错处和正确的方法【题目】点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C：(x^2/a^2)+y^2=1(a>1)的左右焦点,P为椭圆C上任意点,且向量PF1×向量PF2的最小值为0,求椭圆的标准方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 01:09:20
只是其中有1步不明白,请指出我疑点的错处和正确的方法【题目】点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C：(x^2/a^2)+y^2=1(a>1)的左右焦点,P为椭圆C上任意点,且向量PF1×向量PF2的最小值为0,求椭圆的标准方程
只是其中有1步不明白,请指出我疑点的错处和正确的方法
【题目】点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C：(x^2/a^2)+y^2=1(a>1)的左右焦点,
P为椭圆C上任意点,且向量PF1×向量PF2的最小值为0,求椭圆的标准方程
用参数方程】由椭圆的参数方程x=acos(θ),y=bsin(θ),设P坐标(acosθ,sinθ)
∴向量PF1×向量PF2=(acosθ+c,sinθ)(acosθ-c,sinθ)=(a^2-1)(cosθ)^2-c^2+1.①
∵[向量PF1×向量PF2]的最小值=1-c^2=0 (∵cosθ=0,即θ=90度时是①式的最小值)
得:c=1
∴椭圆的方程为:(x^2/a^2)+y^2=1
用直角坐标】设P(x,y),则:
向量PF1×向量PF2=(x+c,y)(x-c,y)=x^2+y^2-c^2=0...①
又∵P点在椭圆C上,符合：(x^2/a^2)+y^2=1...②；且a^2=c^2+b^2=c^2+1...③
联立①、②、③得P点(向量积为零时)x坐标满足：[(a^2-1)/a^2]×x^2+1-c^2=0...④
∵[向量PF1×向量PF2]的最小值=0...⑤
∴1-c^2=0.⑥ 【我就是这一步不明白】
【老师给我的解释是】
④式中的(1+c^2)是开口向上的抛物线的顶点的纵坐标,【这步我明】
∵[向量PF1×向量PF2]的最小值=0,所以就有：1-c^2=0
【我的疑问】
(1)由⑤到⑥的依据是什么?
(2)若按老师的解释:"P点(向量积为零时)y坐标=0",那P不就是在x轴上了?这情况明显不对(理由1：这2个向量的模不为零；理由2,向量积=0意味着这2个向量垂直,但若P在x轴上,则意味着这2向量平行).【我这思路错在哪里?】
虽然由【答案一】我知道答案二的结果是正确的,但我想搞明白答案二的每一步!
所以,我的问题是：
(1)“我的疑问1”：由⑤到⑥的依据是什么?
(2)“我的疑问2”：我的思路错在哪里?
由于你的指点,我得到了启发.
【问题补充】
【误区】抛物线(④式)的最低点与向量积的最小值(⑤式),从错误的方向联系起来
1、向量积的最小值与顶点没有(直接或称简单)联系；
2、当1-c^2=0时,该抛物线的顶点为(0,0),明显不是P点坐标.
【我认为正确的理解如下,】
设P(x,y),设d=向量PF1×向量PF2=(x+c,y)(x-c,y)=x^2+y^2-c^2...①
∵c是常数,∴(x^2+y^2)取最小值时所的d,就是d的最小值
∵P在椭圆上,∴y^2=1-[x^2/a^2]...②
②代入①并整理后：d=[(a^2-1)/a^2]×x^2+1-c^2...④
∵x∈[-a,a],a>1
从④可见,当x=0时,d是最小值,又∵已知d的最小值=0
∴d的最小值=1-c^2=0
∴c^2=1,a^2=b^2+c^2=1+1=2
∴椭圆的方程为:(x^2/2)+y^2=1
只是其中有1步不明白,请指出我疑点的错处和正确的方法【题目】点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C：(x^2/a^2)+y^2=1(a>1)的左右焦点,P为椭圆C上任意点,且向量PF1×向量PF2的最小值为0,求椭圆的标准方程
第5步：[ （a^2-1)/a^2 ]x^2+1-c^2的最小值为0
而该抛物线因a>b=1则开口向上,对称轴为x=0,
所以顶点就是1-c^2就是它的最小值,也就是0.
所以1-c^2=0,得到c=1,又b=1,那么a=√2
标准方程：x^2/2+y^2=1.