作业帮求幂级数的收敛区间
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:34:21
求幂级数的收敛区间
求幂级数的收敛区间
求幂级数的收敛区间
首先lim{n→∞} (2/3)^n = 0.
进而1 = lim{n→∞} 1-(2/3)^n ≤ lim{n→∞} (1+(-2/3)^n)^(1/n) ≤ lim{n→∞} 1+(2/3)^n = 1.
故lim{n→∞} (1+(-2/3)^n)^(1/n) = 1.
又lim{n→∞} n^(1/n) = 1.
可得lim{n→∞} ((3^n+(-2)^n)/n)^(1/n) = 3·lim{n→∞} ((1+(-2/3)^n)/n)^(1/n) = 3.
可知幂级数的收敛半径为1/3.
只需讨论端点处的敛散性.
对x = 1/3, 通项为(1+(-2/3)^n)/n, 是一个与1/n等价的正项级数, 由比较判别法知其发散.
对x = -1/3, 通项为((-1)^n+(2/3)^n)/n. ∑(2/3)^n/n与∑(-1)^n/n均收敛, 故x = -1/3时收敛.
综合得收敛域为[-1/3,1/3).