作业帮设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax（1）当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数；（2）当0＜a＜1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 17:35:29
设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax（1）当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数；（2）当0＜a＜1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax
（1）当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数；
（2）当0＜a＜1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax（1）当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数；（2）当0＜a＜1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
(1)当a<=0时,-ax在[0,+∞)上递增,√（x2+1）在[0,+∞)也递增,
所以f(x)在[0,+∞)上递增,为单调函数.
（2）当a>0时,利用单调函数定义可以判断f(x)当a>=1时为单调减函数.
判断如下：假设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=
(√(x12+1）-ax1)-(√(x22+1）-ax2)=(√(x12+1）-√(x22+1）)-a(x1-x2)
=(x12-x22)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a]
因为√(x12+1）+√(x22+1）>=x1+x2,
所以)(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）<=1,
所以当a>=1时（x1-x2)[(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a]>=0成立,
则f(x)为减函数.
当a<1时)[(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a]的正负不能确定,所以f(x)
不具有单调性.
综合得到函数f(x)在[0,+∞)上为单调性时,a的范围是;a<=0或a>1.
（下面附上,a=-1增函数,a=0.5有时减有时增不单调,a=1.5减函数,请你作比较和观察.）
哎，赶作业