作业帮中心在原点 一个交点为F1(0,根号14)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/4 求椭圆的标准方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 09:02:00
中心在原点 一个交点为F1(0,根号14)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/4 求椭圆的标准方程
中心在原点 一个交点为F1(0,根号14)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/4 求椭圆的标准方程
中心在原点 一个交点为F1(0,根号14)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/4 求椭圆的标准方程
如图（我发了一张图呃……）
设直线y=3x-2 交所求椭圆于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.
由题可知,c=√14.
∴a²=b²+14.
又,所求椭圆的焦点在y轴上.
则可设所求椭圆方程为y²/(b²+14)+x²/b²=1 (b＞0).
联立{b²y²+(b²+14)x²=b²(b²+14). y=3x-2.
得,(10b²+14)x²-12b²x-b²(b²+14)=0
验证得,此方程中 △＞0.
∴可由韦达定理得,x1+x2=6b²/(5b²+7).
又∵线段AB的中点M的横坐标为1/4.
∴有(x1+x2)/2=3b²/(5b²+7)=1/4.
解得,b²=1.
又∵b＞0
∴b=1. 则a²=15.
即：所求椭圆方程为y²/15+x²=1.
中心在原点，焦点在y轴上，不妨设为x^2/A+y^2/B=1
c=14^(1/2),于是c^2=B-A=14,于是方程为：x^2/A+y^2/（A+14)=1，
把y=3x-2代入整理可得：(10A+14)x^2-12Ax-A^2-10A=0
由韦达定理：1/4=(x1+x2)/2=12A/(10A+14)/2，解得A=1，于是B=15
于是椭圆为：x^2+y^2/15=1.
sorry,I don't know
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