任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 05:47:47

任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数?
任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数?

任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数?
【思路】不同的自然数被7除,其余数可能不同,也可能相同（但任意所取的不同自然数,不能保证余数相同）.除数一定、两被除数相减的实质是商相减余数也相减.只有当两个余数的差为0时,这两个被除数的差才能被7整除.因余数不外乎是0、1、2、3、4、5、6七种,它们两两之差均不为0,所以根据抽屉原理,如果再增加一个自然数,则被7除的余数必然会与上述7种余数中的一种相同,这样就能保证至少有两个数被7除的余数之差为0.
【结论】至少取8个不同的自然数,才能保证其中至少有两个自然数的差能被7整除.

至少取8个不同的自然数，才能保证其中至少有两个自然数的差能被7整除。

任何自然数除以7余数有0，1，2，3，4，5，6，共7种，根据抽屉原则，如果取8个自然数，那么肯定有至少1对除以7余数相同
所以至少取9个数整除
所以至少取9个数

自然数按被7除的余数可分为7k,7k+1,7k+2,7k+3,7k+4,7k+5,7k+6共七种,
∴取8个就可以保证至少有两个数的差是7的倍数.

任意取出8个就可保证有两个数的差是7的倍数。因为除以7的余数只有1、2、3、4、5、6、0，则第8个比与前一个重复，两者相减，余0。所以任意取出8个就可保证了