作业帮求微分方程,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 20:49:15
求微分方程,
求微分方程,
求微分方程,
解 令u‘-2xu/（x^2+1）=0
du/u’=2xdx/（x^2+1）
ln|u|=ln|x^2+1|+C
ln|u|=ln|x^2+1|+lnC
ln|u|=lnC|x^2+1|
u=C（x^2+1）
令u=t（x^2+1）,t为x的函数
u‘=（dt/dx）*（x^2+1）+2xt
将u与u‘带入u‘-2xu/（x^2+1）=x/2得到
(dt/dx）*（x^2+1）+2xt-2xt（x^2+1）/（x^2+1）=x/2
（dt/dx）*（x^2+1）=x/2
dt=xdx/{2（x^2+1）}
t=∫（1/2）*xdx/（x^2+1）
t=（1/4）*ln|x^2+1|+C
所以u={（1/4）*ln|x^2+1|+C}（x^2+1）
求微分方程du/dx-[2x/(x²+1)]u=x/2的同解
先求齐次方程du/dx-[2x/(x²+1)]u=0的通
分离变量得du/u=[2x/(x²+1)]dx
积分之得lnu=∫[2x/(x²+1)]dx=∫d(x²+1)/(x²+1)=ln(x²+1)+lnC₁=lnC₁...
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求微分方程du/dx-[2x/(x²+1)]u=x/2的同解
先求齐次方程du/dx-[2x/(x²+1)]u=0的通
分离变量得du/u=[2x/(x²+1)]dx
积分之得lnu=∫[2x/(x²+1)]dx=∫d(x²+1)/(x²+1)=ln(x²+1)+lnC₁=lnC₁(x²+1)
故得u=C₁(x²+1)；将C₁换成x的函数P，得u=P(x²+1)...........(1)
将(1)对x求导得du/dx=(x²+1)(dP/dx)+2Px...........(2)
将(1)和(2)一起代入原方程得：
(x²+1)(dP/dx)+2Px-[2x/(x²+1)]P(x²+1)=x/2
即有(x²+1)(dP/dx)=x/2
分离变量得dP=xdx/[2(x²+1)]=[d(x²+1)]/[4(x²+1)]
积分之得P=(1/4)ln(x²+1)+lnC=ln[C∜(x²+1)]........(3)
将(3)代入(1)式即得原方程的通解为u=(x²+1)ln[C∜(x²+1)].
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