作业帮高数洛必达法则习题!打五角星的两题!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 05:57:44
高数洛必达法则习题!打五角星的两题!
高数洛必达法则习题!打五角星的两题!
高数洛必达法则习题!打五角星的两题!
题一
由于不方便,x趋于零就不写了,首先通分得
lim[x^2-(tanx)^2]/x^2(tanx)^2 (0比0型,由于分母为多项式乘积,所以x趋于0时,分母tanx可等价于x)
=lim[x^2-(tanx)^2]/x^4 罗比达法则,上下分别求导得
=lim[2x-2tanx (secx)^2]/4x^3 (0比0型）(可将secx 的极限为1带入,上式变为(2x-2tanx)/4x^3)继续求导
=lim[2-2(sec x)^2]/12x^2 (仍为0比0型）继续求导
=lim[0-4 (sec x) * sec x * tan x]/24x =lim[-4 tan x * (sec x)^2]/24x
x趋于0时,sec x的极限为1,tan x等价于x
上式的极限为 -4 x/24x= -1/6
题二
x=1时的值等于函数x趋于1的左极限
当x=1时,1/π (1-x),1/sin(πx) 无意义,所以将这两个式子通分求极限
lim [π(1-x)-sin πx]/[π(1-x) * sin πx] 令t=1-x ,那么t的极限为0,上式为
=lim[ π t - sinπ(1-t)] / π t sinπ(1-t)=lim(π t- sin π t)/(π t sin πt) (由函数公式sin(π-x)=sin x)
=lim(π t- sin π t)/(π^2 t^2) (因为分母sin(π t)等价于 π*t)
由罗比达法则分别求导可得(0比0型)
=lim[π -π*cos(π t)]/2π^2 *t 仍为0比0型,罗比达法则得
=lim[π^2 sin π t]/2 π^2=0
所以当x的极限趋于1时,f(x)=1/(π x)+0=1/π
为了函数在[1/2,1]上连续,需要补充定义 f(1)=1/π