作业帮已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,三角0分形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1等于10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 06:13:49
已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,三角0分形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1等于10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,
已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,三角0分
形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1等于10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1与e2的乘积的取值范围是 别弄些看不懂的
已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,三角0分形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1等于10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,
椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2
设焦距为2c,椭圆的半长轴长为a,双曲线的半实轴长为a'
P在第一象限,根据椭圆及双曲线定义：
|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2a'
∵PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形
∴|PF2|=|F1F2|=2c
∴|PF1|+2c=2a,|PF1|-2c=2a'
两式相减：
4c=2a-2a'
∴2=a/c-a'/c
即1/e1-1/e2=2
∴1/e1=2+1/e2=(2e2+1)/e2
∴e1=e2/(2e2+1)
∴e1e2=e²2/(2e2+1)
设2e2+1=t,∵e2>1 ∴t>3
∴e2=(t-1)/2
∴e1e2=[(t-1)/2]²/t=1/4[(t²-2t+1)/t]
=1/4[t+1/t-2]
∵函数t+1/t在（3,+∞）上为增函数
∴t+1/t>3+1/3=10/3
∴t+1/t-2>4/3
∴e1e2>1/3
即e1与e2的乘积的取值范围是(1/3,+∞)
设椭圆方程：x^2/a1^2+y^2/b1^2=1,双曲线方程:x^2/a2^2-y^2/b2^2=1.
则PF1+PF2=10+PF2=2a1(这个是椭圆的概念，应明白吧)，所以PF2=2a1-10
又F1F2=PF2，所以2C=2a1-10，即a1=C+5（1）
又PF1-PF2=2a2(这是双曲线的概念，也明白吧)，所以2a2=10-PF2=20-2a1,即a1+a2...
全部展开
设椭圆方程：x^2/a1^2+y^2/b1^2=1,双曲线方程:x^2/a2^2-y^2/b2^2=1.
则PF1+PF2=10+PF2=2a1(这个是椭圆的概念，应明白吧)，所以PF2=2a1-10
又F1F2=PF2，所以2C=2a1-10，即a1=C+5（1）
又PF1-PF2=2a2(这是双曲线的概念，也明白吧)，所以2a2=10-PF2=20-2a1,即a1+a2=10,即a2=10-a1=5-C(由（2）式可知)
又PF2=F1F2=2C，所以PF1+F1F2=4C大于10（三角形两边之和大于第三边），
即C大于5/2、(3)
由（1）、（2）可知：e1*e2=C^2/(a1*a2)=C^2/(25-C^2)=1/(25/C^2-1),由（3）可知25/C^2小于4，又e1*e2大于0，所以25/C^2-1大于0且小于3，
所以e1*e2=1/(25/C^2-1)大于1/3
收起