怎么证明三阶行列式是它三个向量张成的六面体的体积,说思路就像

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 04:53:08

怎么证明三阶行列式是它三个向量张成的六面体的体积,说思路就像
怎么证明三阶行列式是它三个向量张成的六面体的体积,说思路就像

怎么证明三阶行列式是它三个向量张成的六面体的体积,说思路就像
平行六面体的体积是底面积乘高
平行四边形的面积是底边乘高
所以思路都是一样的
对于三个向量x,y,z
先把x取成底,算xy面的面积,再算xyz的体积
算面积的时候要把y向x投影求出高,算体积的时候要把z向xy面投影
既然如此,就可以用Gram-Schmidt正交化过程把x,y,z正交化,相应于矩阵就是QR分解
[x,y,z]=QR,Q是正交阵,R是对角元为正数的上三角阵,det([x,y,z])=±det(R),det(Q)决定了符号
事实上R(1,1),R(2,2),R(3,3)分别就是x、y向x的投影、z向xy的投影的长度,所以det(R)就是体积

这个是用座标带入验算出来的，证明很直接，但是过程很繁琐的。
简单的说，给你三个向量，你可以计算出其体积和其坐标的公式
你也可以算出矩阵行列式
两者结果是相等的。

设置为（1,0，-1）= K =（1,1,0）+米（0,1,1）
然后1 = K
0 = K + M
-1 = M
所以
（1,0，-1）=（1,1,0） - （0,1,1）
向量（1,0，-1），（1,1,0）和（0,1,1），所示的线性
所以
向量（1,0，-1）和矢量（1,1,0）和（0,1,1）的向量的共面

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