求幂级数收敛域和收敛半径(-1)^n*(1/2^n*n)x^(2n-3).求大师们给出解题步奏,顺便解释下收区间开闭的选择(中括号和小括号的选择)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:18:50

求幂级数收敛域和收敛半径(-1)^n*(1/2^n*n)x^(2n-3).求大师们给出解题步奏,顺便解释下收区间开闭的选择(中括号和小括号的选择)
求幂级数收敛域和收敛半径
(-1)^n*(1/2^n*n)x^(2n-3).求大师们给出解题步奏,顺便解释下收区间开闭的选择(中括号和小括号的选择)

求幂级数收敛域和收敛半径(-1)^n*(1/2^n*n)x^(2n-3).求大师们给出解题步奏,顺便解释下收区间开闭的选择(中括号和小括号的选择)
求收敛半径可以用D'Alembert比值判别法.
设a[n] = (-1)^n·x^(2n-3)/(n·2^n).
则|a[n+1]/a[n]| = (n+1)x²/(2n) → x²/2 (当n → ∞).
根据D'Alembert判别法, |x| > √2时级数发散, |x| < √2时级数收敛.
因此收敛半径为√2.
下面讨论端点处的收敛性.
x = ±√2时, a[n] = (-1)^n·(±√2)^(2n-3)/(n·2^n) = (-1)^n·(±√2)^(-3)/n = ±(√2/4)·(-1)^n/n.
∑a[n]是交错级数, 且|a[n]| = √2/(4n)单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法, 级数收敛.
故级数的收敛域为[-√2,√2].