求(1+x-x^2-x^3)^5的展开式中含x^3项的系数.
求(1+x-x^2-x^3)^5的展开式中含x^3项的系数.
求(1+x-x^2-x^3)^5的展开式中含x^3项的系数.
求(1+x-x^2-x^3)^5的展开式中含x^3项的系数.
=1+x-x2(1+x)
=(1+x)2(1-x)
(1+x-x^2-x^3)^5=(1+x)10(1-x)5
展开式中含x^3项的系数就是(1+x)10中常数项乘(1-x)5里的x^3项,(1+x)10的x对(1-x)5的x2项,一共四组
1*(-C5,3)+C10,1*C5,2+C10,2*(-C5,1)+C10,3=205
两种方法。
一是直接用展开式。五个括号,乘积要得到 x^3 ,可以是四个括号里取常数项,一个括号里取 x^3 项;或三个括号里取常数项,一个括号里取 x^2 项,一个括号里取 x 项;或两个括号里取常数项,三个括号里均取 x 项,
所以系数=C(5,4)*1^4*(-1)+C(5,3)*1^3*C(2,1)*1*(-1)+C(5,2)*1^2*C(3,3)*1^3
...
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两种方法。
一是直接用展开式。五个括号,乘积要得到 x^3 ,可以是四个括号里取常数项,一个括号里取 x^3 项;或三个括号里取常数项,一个括号里取 x^2 项,一个括号里取 x 项;或两个括号里取常数项,三个括号里均取 x 项,
所以系数=C(5,4)*1^4*(-1)+C(5,3)*1^3*C(2,1)*1*(-1)+C(5,2)*1^2*C(3,3)*1^3
= -5-20+10= -15 ;
二是先把 (1+x-x^2-x^3)^5 化为 (1-x)^5*(1+x)^10 ,然后分别算出 (1-x)^5 的前四项:1-5x+10x^2-10x^3 以及 (1+x)^10 的前四项:1+10x+45x^2+120x^3 ,
所以所求系数=120-5*45+10*10-10= -15 。
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