设x,y是正实数,则代数式x/2x+y +2y/x+2y 的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 06:49:42

设x,y是正实数,则代数式x/2x+y +2y/x+2y 的最大值
设x,y是正实数,则代数式x/2x+y +2y/x+2y 的最大值

设x,y是正实数,则代数式x/2x+y +2y/x+2y 的最大值
z=x/(2x+y)+2y/(x+2y)=(x²+6xy+2y²)/(2x²+5xy+2y²)
分子分母同时除以y²可得
z=(x²/y²+6x/y+2)/(2x²/y²+5x/y+2)
令x/y=t可得
z=(t²+6t+2)/(2t²+5t+2),(t>0)
求导可得
z'=(-7t²-4t+2)/(2t²+5t+2),(t>0)
令z'=0可得
t=(3√2-2)/7
∴当x/y=(3√2-2)/7时z=x/(2x+y)+2y/(x+2y)取得最大值(6-2√2)/3

∵x、y都是正数,∴x/y+y/x≧2。
∴x/(2x+y)+2y/(x+2y)
=[(x^2+2xy)+(4xy+2y^2)]/[(2x+y)(x+2y)]
=(x^2+6xy+2y^2)/(2x^2+5xy+2y^2)
=1+xy/(2x^2+5xy+2y^2)
=1+1/(2x/y+2y/x+5)
≦1+1/(2×2+5)
=10/9。...

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∵x、y都是正数,∴x/y+y/x≧2。
∴x/(2x+y)+2y/(x+2y)
=[(x^2+2xy)+(4xy+2y^2)]/[(2x+y)(x+2y)]
=(x^2+6xy+2y^2)/(2x^2+5xy+2y^2)
=1+xy/(2x^2+5xy+2y^2)
=1+1/(2x/y+2y/x+5)
≦1+1/(2×2+5)
=10/9。
∴[x/(2x+y)+2y/(x+2y)]的最大值是10/9。

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