作业帮若x>0,y>0,x+y=1,求证：（1+1/x）（1+1/y）大于等于9
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 22:18:46
若x>0,y>0,x+y=1,求证：（1+1/x）（1+1/y）大于等于9
若x>0,y>0,x+y=1,求证：（1+1/x）（1+1/y）大于等于9
若x>0,y>0,x+y=1,求证：（1+1/x）（1+1/y）大于等于9
(x-y)²≥0 --> x²+y²≥2xy --> x²+2xy+y²≥4xy --> (x+y)²≥4xy -->
1/4≥xy (已知x+y=1).--> 1/xy ≤ 4
所以：(1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy=1+(x+y+1)/xy=1+2/xy ≥ 1+8 = 9
xy≤1/4 * (x+y)² = 1/4
于是，
(1+1/x)(1+1/y) = 1 + (x+y+1)/xy
= 1 + 2/xy
≥1 + 8 = 9
∵x+y=1，x>0,y>0,
∴必定x，y中的一个值<=1/2,另一个值>=1/2，
因为两个因数的和一定时，两个因数越接近，其积越大
所以xy的积最大是1/2*1/2=1/4,既xy≤1/4
原式变形为：
(x+y+xy+1)/xy=（x+y)/xy+1/xy+xy/xy
而（x+y)/xy=1/xy≥4，
1/xy≥4，
xy/...
全部展开
∵x+y=1，x>0,y>0,
∴必定x，y中的一个值<=1/2,另一个值>=1/2，
因为两个因数的和一定时，两个因数越接近，其积越大
所以xy的积最大是1/2*1/2=1/4,既xy≤1/4
原式变形为：
(x+y+xy+1)/xy=（x+y)/xy+1/xy+xy/xy
而（x+y)/xy=1/xy≥4，
1/xy≥4，
xy/xy=1
所以原式（1+1/x）（1+1/y）≥4+4+1=9
收起
x+y>=2根号(xy),即xy<=1/4,(1+1/x)(1g+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy=1+2/xy,因xy<=1/4,所以上式1+2/xy>=1+2/(1/4)=9