设f（2^x）=x²+bx+c(b、c∈R)（1）求函数f(x)的解析式（2）当x∈（0,1/4]∪[4,正无穷大),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间（4,8]上的最大值为1,求b的取值范围

设f（2^x）=x²+bx+c(b、c∈R)（1）求函数f(x)的解析式（2）当x∈（0,1/4]∪[4,正无穷大),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间（4,8]上的最大值为1,求b的取值范围
设f（2^x）=x²+bx+c(b、c∈R)
（1）求函数f(x)的解析式
（2）当x∈（0,1/4]∪[4,正无穷大),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间（4,8]上的最大值为1,求b的取值范围

设f（2^x）=x²+bx+c(b、c∈R)（1）求函数f(x)的解析式（2）当x∈（0,1/4]∪[4,正无穷大),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间（4,8]上的最大值为1,求b的取值范围
(1)设u=2^x,则u>0,x=logu,
f(u)=[logu]^2+blogu+c,
即f(x)=[logx]^2+blogx+c.
(2)x∈(0,1/4]∪[4,+∞)时v=logx的值域是(-∞,-2)]∪[2,+∞),
f(x)=v^2+bv+c=g(v)>=0,
g(-2)=4-2b+c>=0,g(2)=4+2b+c>=0,①
f(x)在区间（4,8]上的最大值为1,
g(v)在（2,3]上的最大值为1,
g(3)=9+3b+c=1,c=-3b-8,代入①,-5b-4>=0,-b-4>=0,
解得b

详细答案过程见下图