已知等差数列an中a5=8,a10=18,三点（a1,0),(a2,2),(a3,0)在圆C上.（1)求圆C的方程（2）若直线l:mx+ny+1=0被圆C所截得的弦长为2√3,求m²+n²的最小值（3）若一条动直线与圆C交于A、B两点,且总有|OA|*

已知等差数列an中a5=8,a10=18,三点（a1,0),(a2,2),(a3,0)在圆C上.（1)求圆C的方程（2）若直线l:mx+ny+1=0被圆C所截得的弦长为2√3,求m²+n²的最小值（3）若一条动直线与圆C交于A、B两点,且总有|OA|*
已知等差数列an中a5=8,a10=18,三点（a1,0),(a2,2),(a3,0)在圆C上.
（1)求圆C的方程
（2）若直线l:mx+ny+1=0被圆C所截得的弦长为2√3,求m²+n²的最小值
（3）若一条动直线与圆C交于A、B两点,且总有|OA|*|OB|=8（点O为坐标原点）,试探究直线AB是否与一个定圆相切,请说明理由.

已知等差数列an中a5=8,a10=18,三点（a1,0),(a2,2),(a3,0)在圆C上.（1)求圆C的方程（2）若直线l:mx+ny+1=0被圆C所截得的弦长为2√3,求m²+n²的最小值（3）若一条动直线与圆C交于A、B两点,且总有|OA|*
（1）等差d=（a10-a5）/5=2,所以a1=a5-4d=0,a2=2,a3=4
三点分别为（0,0）,（2,2）,（4,0）
通过勾股定理,知道这3个点正好组成一个直角三角形,很容易知道 圆心为（2,0）,半径为2
所以圆C的方程为 (x-2)^2+y^2=4
(2)直线L被圆C所截的弦长为2√3,容易求得圆C圆心（2,0）到直线L的距离为1
即直线L为圆d：（x-2)^2+y^2=1的切线,任取圆d上的一点（x0,y0）的切线,其方程为
（x0-2)(x-2)+y0y=1
整理得 （x0-2)x+y0y+3-2x0=0,即
m=(x0-2)/(3-2x0),n=y0/(3-2x0) 代入m^2+n^2=[(x0-2)^2+y0^2]/(3-2x0)^2=1/(3-2x0)^2
可知1≤x0≤3（在圆d上的点）
所以m^2+n^2的最小值为1/9（当x0=3）
（3）设点A（xA,yA)和点B（xB,yB）在圆C上,且满足|OA|*|OB|=8
即√xA^2+xB^2 × √xB^2+yB^2=8
(xA^2+xB^2) × (xB^2+yB^2)=64 ①
因为AB在圆C上,所以满足（x-2)^2+y^2=4,将(xA,yA),(xB,yB)代入
可得xA^2+yA^2=4xA,xB^2+yB^2=4xB,代入 ①式
得xAxB=4
设直线AB的方程为mx+ny+1=0,与圆C相交,联立方程组得
（m^2+n^2)x^2+(2m-4n^2)x+1=0,
A,B为交点
所以xAxB=1/(m^2+n^2)=4,得m^2+n^2=1/4
容易看出,点（0,0）到直线AB：mx+ny+1=0的距离为定值,且d=2,即：
直线AB与定圆x^2+y^2=4相切.

d=(18-8)/(10-5)=2, 得a1=8-2*4=0, a2=2, a3=4.
(1) 方程为(x-2)^2+y^2=4.
(2) 弦长为2√3, 说明圆心到弦的距离为√(2^2-(√3)^2)=1.
而距离为|2m+1|/√(m^2+n^2), 所以(2m+1)^2=m^2+n^2,
即n^2=(3m+1)(m+1)>=0, 所以m<=...

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d=(18-8)/(10-5)=2, 得a1=8-2*4=0, a2=2, a3=4.
(1) 方程为(x-2)^2+y^2=4.
(2) 弦长为2√3, 说明圆心到弦的距离为√(2^2-(√3)^2)=1.
而距离为|2m+1|/√(m^2+n^2), 所以(2m+1)^2=m^2+n^2,
即n^2=(3m+1)(m+1)>=0, 所以m<= -1或>= -1/3.
所以所求最小值m^2+n^2=(2m+1)^2>=(-2/3+1)^2=1/9.
(3) 设A(x1, y1), B(x2, y2), 则(x1-2)^2+y1^2=4, (x2-2)^2+y2^2=4,
且(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)=8^2=64.
由上式可得x1^2+y1^2=4x1, x2^2+y2^2=4x2, 所以x1*x2=4.
下面思考一下，由于AB这条直线关于x轴对称也满足条件，
这说明：该定圆圆心在x轴上. 设圆心为(a, 0).
计算圆心到AB的距离：
距离^2=((a-x1)*(y2-y1)+y1*(x2-x1))^2/((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
=(a(y2-y1)-x1*y2+x2*y1)^2/((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
=(a^2*(y2-y1)^2-2a(y2-y1)(x1y2-x2y1)+(x1^2*y2^2+x2^2*y1^2-2x1x2y1y2))/(x1^2+x2^2+y1^2+y2^2-2x1x2-2y1y2)
=(a^2*(y2-y1)^2-2a(y2-y1)(x1y2-x2y1)+(x1^2*(4x2-x2^2)+x2^2*(4x1-x1^2)-8y1y2) /
(x1^2+x2^2+4x1-x1^2+4x2-x2^2-8-2y1y2)
=(a^2*(y2-y1)^2-2a(y2-y1)(x1y2-x2y1)+(16x1+16x2-32-8y1y2)) /
(4x1+4x2-8-2y1y2).
我们发现当a=0时，(16x1+16x2-32-8y1y2)) / (4x1+4x2-8-2y1y2)恰巧为定值4.
所以定圆为x^2+y^2=4.
ps: 此做法不严格，最后可以严格地把它算出来。或者先试几个特殊的AB，如A(2, 2), B(2, -2); A(1, √3), B(4, 0) 把定圆给试出来再验证也可以。

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