作业帮已知A B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两点,且线段AB的垂直平分线L交于X轴于点P(c,0),又线段AB的中点横坐标为X0,求证：(a^2-b^2)*X0/(a^2)求证：(a^2-b^2)乘以X0/（a^2)=c
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 23:50:50
已知A B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两点,且线段AB的垂直平分线L交于X轴于点P(c,0),又线段AB的中点横坐标为X0,求证：(a^2-b^2)*X0/(a^2)求证：(a^2-b^2)乘以X0/（a^2)=c
已知A B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两点,且线段AB的垂直平分线L交于X轴于点P(c,0),又线段AB的中点横坐标为X0,求证：(a^2-b^2)*X0/(a^2)
求证：(a^2-b^2)乘以X0/（a^2)=c
已知A B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两点,且线段AB的垂直平分线L交于X轴于点P(c,0),又线段AB的中点横坐标为X0,求证：(a^2-b^2)*X0/(a^2)求证：(a^2-b^2)乘以X0/（a^2)=c
假设A（x1,y1),B(x2.y2)
kAB=(y2-y1)/(x2-x1),y2-y1=kAB(x2-x1);
A,B在椭圆上,有：
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1,x2^2/a^2+y2^2/b^2=1,
两个式子相减,化简得：
b^2(x1+x2)(x1-x2)=a^2(y2+y1)(y2-y1)
根据中点坐标公式有：x1+x2=2x0,代入上式,
把y2-y1=kAB(x2-x1)代入上式,
b^2(2x0)(x1-x2)=a^2(y2+y1)kAB(x2-x1),
y2+y1=-2b^2*x0 / a^2*kAB,
中点纵坐标为：y0=(y2+y1)/2=-b^2*x0 / a^2*kAB
直线L的斜率：kL=-1/kAB,过点P(c,0),
L方程：y=-1/kAB(x-c),
中点(x0,-b^2*x0 / a^2*kAB)在L上,满足上式,代入：
-b^2*x0 / a^2*kAB=-1/kAB(x0-c),
化简整理得：
(a^2-b^2)*X0/（a^2)=c 得证.
设A(x1,y1)B(x2,y2)
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减并化简：(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2)=-b^2/a^2……(*)
AB中点坐标（x0/2，（y1+y2）/2）
AB斜率=（y2-y1）/(x2-x1)
AB中垂线斜率=-(x2-x1)/（y2-y1...
全部展开
设A(x1,y1)B(x2,y2)
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减并化简：(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2)=-b^2/a^2……(*)
AB中点坐标（x0/2，（y1+y2）/2）
AB斜率=（y2-y1）/(x2-x1)
AB中垂线斜率=-(x2-x1)/（y2-y1）
AB中垂线方程：y-（y1+y2）/2=-(x2-x1)/（y2-y1）(x-x0)
令y=0,得x=[（y1+y2）(y2-y1)/2(x2-x1)]+x0=c
故只需证明：
[（y1+y2）(y2-y1)/2(x2-x1)]+x0=(a^2-b^2)x0/（a^2)
只需证明：（y1+y2）(y2-y1)/2(x2-x1)=-b^2x0/a^2
结合(*)式，
只需证明：
（y1+y2）(y2-y1)/2(x2-x1)=(y2^2-y1^2)x0/(x2^2-x1^2)
只需证明：1/2=x0/(x1+x2)
即：x1+x2=2x0
这是显然的，故命题得证！
过程交叉综合法和分析法，肯能有点难懂，但确实是对的。
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