椭圆方程为x²/4+y²=1,A、B分别为左右顶点.S为椭圆x轴上方的动点,直线AS、BS与直线l与直线l：x=10/3分别交于M、N两点.求线段MN的长度的最小值.（用参数方程的解法）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 20:33:33

椭圆方程为x²/4+y²=1,A、B分别为左右顶点.S为椭圆x轴上方的动点,直线AS、BS与直线l与直线l：x=10/3分别交于M、N两点.求线段MN的长度的最小值.（用参数方程的解法）
椭圆方程为x²/4+y²=1,A、B分别为左右顶点.S为椭圆x轴上方的动点,直线AS、BS与直线l
与直线l：x=10/3分别交于M、N两点.求线段MN的长度的最小值.（用参数方程的解法）

椭圆方程为x²/4+y²=1,A、B分别为左右顶点.S为椭圆x轴上方的动点,直线AS、BS与直线l与直线l：x=10/3分别交于M、N两点.求线段MN的长度的最小值.（用参数方程的解法）
1L算了很长一串,不过三角化简却做的并不好.求斜率的时候就要用倍角公式化简计算
不需要导数,只需要掌握函数 f(x) =x+4/x
其实很简单：设S(2cosa,sina),A(-2,0),B(2,0)
直线 SA ：y-0 = (x-2) *[sina/(2cosa+2)] = (x-2)*[2sin(a/2)cos(a/2)]/[4(cosa/2)^2]
=(x-2) tan(a/2)/2 令k = tan(a/2) 因为S在X轴上方,所以k>0
ym = (1/2)*(4k/3)
直线 SB y-0 = (x+2)*[sina/(2cosa-2)]=(x+2)*[2sin(a/2)cos(a/2)]/[-4(sina/2)^2]
= -(x+2)cot(a/2) /2
yn = -16/3 * (1/2) *(1/k)
MN = |ym-yn| = (k+4/k) *2/3≥ 2*√ (k* 4/k) *2/3=8/3 当且仅当 k=2 时成立
函数f(k)=k+4/k 在k>0时,值域为[8/3,+∞)

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x²/4+y²=1 a=2 ，b=1，c=√3，A(-2,0)、B(2,0)，
椭圆参数方程：x=2cosθ,y=sinθ
S(2cosα,sinα) 0<α<180°
直线方程：AS：(y-0)/(x-(-2))=(sinα-0)/(2cosα-(-2)) y=sinα/(2cosα+2)*x+sinα/(cosα+1)
BS：(y-0)/(x-2)=(sinα-0)/(2cosα-2) y=sinα/(2cosα-2)*x-sinα/(cosα-1)
M：x=10/3 y=sinα/(2cosα+2)*10/3+sinα/(cosα+1)=8/3*sinα/(cosα+1)
M(10/3,8/3*sinα/(cosα+1))
N：x=10/3 y=sinα/(2cosα-2)*10/3-sinα/(cosα-1)=2/3*sinα/(cosα-1)
N(10/3,2/3*sinα/(cosα-1))
|MN|=8/3*sinα/(cosα+1)-2/3*sinα/(cosα-1)
=(8/3*sinα(cosα-1)-2/3*sinα(cosα+1))/(cosα+1)(cosα-1)
=(2sinαcosα-10/3)/(cos²α-1)
=(2sinαcosα-10/3)/(-sin²α)
=10/3/(sin²α)-2cotα
|MN|'=-20/3/sin³α*cosα-2csc²α=0时有极值。
-20/3/sin³α*cosα=2/sin²α
-10/3*cosα=1
cosα=-3/10 sinα=√(1-(-3/10)²)=√91/10 cotα=(-3/10)/(√91/10)=-3√91/91
极值：|MN|=10/3/(sin²α)-2cotα=10/3/(√91/10)²-2*(-3√91/91)=91/30+6√91/91
不论α趋近于0还是趋近于180°，|MN|的值都比极值大，所以极值即为最小值。

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设S的坐标为（a,b），则有
AS方程：y=(x+2)*b/(a+2)，从而M坐标为（10/3，(16/3)*b/(a+2)）；
BS方程：y=(x-2)*b/(a-2)，从而N坐标为（10/3，(4/3)*b/(a-2)）；
又因为S在椭圆上，故有a²/4+b²=1，且b>0。
所以得到MN的长度为（20-6*a）/√(4-a²)，<...

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