设a>b>c求证bc²+ca²+ab²＜b²c+c²a+a²b

设a>b>c求证bc²+ca²+ab²＜b²c+c²a+a²b
设a>b>c求证bc²+ca²+ab²＜b²c+c²a+a²b

设a>b>c求证bc²+ca²+ab²＜b²c+c²a+a²b
a2b+b2c+c2a－（ab2+bc2+ca2）
＝ab(a-b)+b^2c+c^2a-ca^2-bc^2
＝ab(a-b)+c(b^2-a^2)+c^2(a-b)
＝(a-b)(ab-c(a+b)+c^2)
＝(a-b)(c-a)(c-b)
∵a＞b＞c,
∴(a-b)(c-a)(c-b)＞0
故a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2

太简单了。
先把右边全部移到左边，变成下面这条式子：
a²（c-b）+b²（a-b）+c²（b-a）＜0
把中间那项拆成b²（a-b）+b²（b-c）然后合并公因式同时变号：
（a²-b²）（c-b）+（c²-b²）（b-a）＜0
化简：（a-b）(c-b)（a+b-c...

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太简单了。
先把右边全部移到左边，变成下面这条式子：
a²（c-b）+b²（a-b）+c²（b-a）＜0
把中间那项拆成b²（a-b）+b²（b-c）然后合并公因式同时变号：
（a²-b²）（c-b）+（c²-b²）（b-a）＜0
化简：（a-b）(c-b)（a+b-c-b）＜0
明显因为a＞b＞c，所以上式第一第三项是正，第二项是负，因此得证。

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