1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+……+1/90=?

1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+……+1/90=?
1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+……+1/90=?

1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+……+1/90=?
由于1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
所以原式
=1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(9*10)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/9-1/10)
=1-1/10
=9/10

=1-1/2+1/2-1/3+...-1/10
=1-1/10
=9/10

裂项
1/2=1-1/2
1/2*3=1/2-1/3
所以中间约去
首尾相减1-1/10=9/10

/2+1/6+1/12+1/20+1/30+……+1/90=1/2+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+....+(1/9-1/10)=1/2+1/2-1/10=9/10
就是拆项消去再合并

1/2可以看成1/(1*2) 就等于 1/1-1/2
1/6可以看成1/(2*3) 就等于 1/2-1/3
1/12可以看成1/(3*4)就等于 1/3-1/4………………………………………1/90可以看成1/(9*10)就等于1/9-1/10
所以原试=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/9-1/10)=1-1/10=9/10

9/10

裂项相消 最后是首尾相减 所以原试=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/9-1/10)=1-1/10=9/10

原式=1-1/2+1/2-1/3+1/3-…+1/9-1/10=9/10

原式=1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(9*10)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/9-1/10)
=1-1/10
=9/10

就是求∑（1/(i*(i+1))）(1<=i<=n)嘛
（这百度知道里没有各种数学符号，没法写得直观规范，我说的你也应该明白的），
则：
由于1/（n*(n+1)）
=((n+1)-n)/（n*(n+1)）
=1/n-1/(n+1),所以上面的求合式子可以化为：
∑（1/(i*(i+1))）
=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3...

全部展开

就是求∑（1/(i*(i+1))）(1<=i<=n)嘛
（这百度知道里没有各种数学符号，没法写得直观规范，我说的你也应该明白的），
则：
由于1/（n*(n+1)）
=((n+1)-n)/（n*(n+1)）
=1/n-1/(n+1),所以上面的求合式子可以化为：
∑（1/(i*(i+1))）
=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+......+(1/n-1/(n+1))
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
当n=9时，
∑（1/(i*(i+1))）=9/10，即：
1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+……+1/90=9/10。
回答完毕。

收起

根据分数的拆分形式得
1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(9*10)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/9-1/10)
=1-1/10
=9/10