作业帮等比数列{an}的公比q＞1,第17项的平方等于第24项求使a1＋a2＋…＋an＞1a1＋1a2＋…＋1an恒成立的正整数n的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 08:36:57
等比数列{an}的公比q＞1,第17项的平方等于第24项求使a1＋a2＋…＋an＞1a1＋1a2＋…＋1an恒成立的正整数n的取值范围.
等比数列{an}的公比q＞1,第17项的平方等于第24项
求使a1＋a2＋…＋an＞1a1＋1a2＋…＋1an恒成立的正整数n的取值范围.
等比数列{an}的公比q＞1,第17项的平方等于第24项求使a1＋a2＋…＋an＞1a1＋1a2＋…＋1an恒成立的正整数n的取值范围.
已知等比数列{an}的公比q>1,a17^2=a24,求使a1+a2+a3+……+an>1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an成立的n的取值范围.
【解】a17^2=a24,
a1^2q^32=a1q23,
a1q^9=1,即a10=1,
因为a1 •a19= a10^2=1,a2 •a18= a10^2=1,……
所以a1=1/a19,a2=1/a18,……,a19=1/a1.
所以a1+a2+a3+……+a19=1/a1+1/a2+1/a3+……+1/a19,
因为公比q>1,a10=1,所以a20>1/a20,a21>1/a21,……
当a1+a2+a3+……+an>1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an成立时,
n≥20.
设首项为a1，公比为q，依题意有（a1q16）2=a1q23，可得 a1q9=1，不等式即 a1(qn-1)q-1
＞1
a1
[1-(1
q
)n]
1-1
q
，
求出 n＞19，由n∈N*，可得n的最小值为20．设首项为a1，公比为q，依题意有（a1q16）2=a1q23，∴a1q9=1．
全部展开
设首项为a1，公比为q，依题意有（a1q16）2=a1q23，可得 a1q9=1，不等式即 a1(qn-1)q-1
＞1
a1
[1-(1
q
)n]
1-1
q
，
求出 n＞19，由n∈N*，可得n的最小值为20．设首项为a1，公比为q，依题意有（a1q16）2=a1q23，∴a1q9=1．
∵{an}为等比数列，∴{1 an }是以1 a1 为首项，1 q 为公比的等比数列．
只需a1(qn-1) q-1 ＞1 a1 [1-(1 q )n] 1-1 q ，∵q＞1，把a12=q-18代入整理，得q-18(qn-1)＞q(1-1 qn )，
∴qn＞q19，∴n＞19，∵n∈N*，∴n的最小值为20．点评：本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，得到 a1(qn-1)
q-1
＞1
a1
[1-(1
q
)n]
1-1
q
，是解题的关键
收起