设双曲线E:x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2其上的任意一点P满足向量PF1·向量F2P小于等于2a^2,过F1作垂直于双曲线实轴的弦长为8.求双曲线E得方程.若过F1的直线交双曲线于AB两点,求向量F2A·
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 20:53:23
设双曲线E:x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2其上的任意一点P满足向量PF1·向量F2P小于等于2a^2,过F1作垂直于双曲线实轴的弦长为8.求双曲线E得方程.若过F1的直线交双曲线于AB两点,求向量F2A·
设双曲线E:x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2
其上的任意一点P满足向量PF1·向量F2P小于等于2a^2,过F1作垂直于双曲线实轴的弦长为8.求双曲线E得方程.若过F1的直线交双曲线于AB两点,求向量F2A·向量F2B的取值范围
设双曲线E:x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2其上的任意一点P满足向量PF1·向量F2P小于等于2a^2,过F1作垂直于双曲线实轴的弦长为8.求双曲线E得方程.若过F1的直线交双曲线于AB两点,求向量F2A·
设双曲线E:x²/a²-y²/b²=1的左右焦点分别为F₁,F₂,其上的任意一点P满足向量PF₁•向量F₂P≦2a²,过F₁作垂直于双曲线实轴的弦长为8.求双曲线E的方程.若过F₁的直线交双曲线于AB两点,求向量F₂A•向量F₂B的取值范围
令x=-c,代入双曲线方程得c²/a²-y²/b²=1;
故y²=b²(c²/a²-1)=b²(c²-a²)/a²=b⁴/a²,∣y∣=b²/a=8/2=4,即有b²=4a.(1)
设P点的坐标为(x,y),那么PF₁=(-c-x,-y);F₂P=(x-c,y);
PF₁•F₂P=-(c+x)(x-c)-y²=-(x²-c²)-y²=c²-x²-y²=c²-x²-[b²(x²/a²-1)]
=-(1+b²/a²)x²+c²+b²≦c²+b²=a²+2b²=2a²,故得a²=2b².(2)
将(1)代入(2)式得a²=8a,即有a²-8a=a(a-8)=0,故a=8,b²=32,于是得双曲线
方程为x²/64-y²/32=1.
(2).双曲线参数a=8,b=4√2,c=√96=4√6;
设过F₁(-4√6,0)的直线方程为y=k(x+4√6),代入双曲线方程得:
x²-2k²(x+4√6)²-64=(1-2k²)x²-16k²(√6)x-192k²-64=0
设A(x₁,y₁);B(x₂,y₂);则x₁+x₂=16(√6)k²/(1-2k²);x₁x₂=-(192k²+64)/(1-2k²)
y₁y₂=[k(x₁+4√6)][k(x₂+4√6)]=k²[x₁x₂+(x₁+x₂)4√6+96]
=k²[-(192k²+64)/(1-2k²)+384k²/(1-2k²)+96]=k²[(192k²-64)/(1-2k²)+96]
=32k²/(1-2k²)
F₂(4√6,0);F₂A=(x₁-4√6,y₁);F₂B=(x₂-4√6,y₂);
故F₂A•F₂B=(x₁-4√6)(x₂-4√6)+y₁y₂=x₁x₂-(4√6)(x₁+x₂)+y₁y₂+96
=-(192k²+64)/(1-2k²)-384k²/(1-2k²)+32k²/(1-2k²)+96
=(-736k²+32)/(1-2k²)=368-336/(1-2k²)
k→∞lim(F₂A•F₂B)=k→∞lim[368-336/(1-2k²)]=368;
k→0lim(F₂A•F₂B)=k→0lim[368-336/(1-2k²)]=32;
即32
方程x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0),c²=a²+b²,焦点坐标(-c,0),(c,0)
过F1作垂直于双曲线实轴的弦长为8
|x1|=c,2√[(c^2/a^2-1)b^2]=8,(c^2-a^2)b^2=16a^2=b^4,b^2=4a
双曲线E:x^2/a^2-y^2/(4a...
全部展开
方程x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0),c²=a²+b²,焦点坐标(-c,0),(c,0)
过F1作垂直于双曲线实轴的弦长为8
|x1|=c,2√[(c^2/a^2-1)b^2]=8,(c^2-a^2)b^2=16a^2=b^4,b^2=4a
双曲线E:x^2/a^2-y^2/(4a)=1
其他都没用??
p(xp,yp)
P满足向量PF1·向量F2P小于等于2a^2
|F1P|^2+|F2P|^2-|F1F2|^2=2|F1P||F2P|cos∠F1PF2
|F1P||F2P|cos∠F1PF2=(|F1P|^2+|F2P|^2-|F1F2|^2)/2<=2a^2
[(xp-c)^2+yp^2]+[(xp+c)^2+yp^2]-4c^2<=4a^2
xp^2+yp^2-c^2<=2a^2,
xp^2+yp^2<=2a^2+c^2=3a^2+b^2,
xp^2/a^2-yp^2/b^2=1,xp^2=a^2+yp^2a^2/b^2
yp^2(1+a^2/b^2)<=2a^2+b^2
yp^2<=(2a^2+b^2)b^2/(a^2+b^2)
yp^2<=(2a^2+b^2)b^2/(a^2+b^2)=4a(2a^2+4a)/(a^2+4a)=8(a^2+2a)/(a+4)
=8(a+4)-8(6a+16)/(a+4)=8(a+4)-8(6a+24-8)/(a+4)=8(a+4)+64/(a+4)-8=8a+24+64/(a+4)
xp^2+yp^2<=2a^2+c^2=3a^2+b^2=3a^2+4a
b^2=4a,yp^2=4(x^2-a^2)/a,xp^2+4(xp^2-a^2)/a<=3a^2+4a,xp^2(a+4)<=3a^3+8a^2,
xp^2<=(3a^3+8a^2)/(a+4)=3a^2-4a^2/(a+4)=3a^2-4a+16a/(a+4)=3a^2-4a+16-64/(a+4)
实在弄不出a的具体数值
收起