已知抛物线的顶点为原点,焦点F与圆x²+y²-2y=0的圆心重合求抛物线的标准方程；（2）是否存在过焦点的直线,使得与抛物线和圆顺次交与A、B、C、D,且|AB|,|BC|,|CD|依次成等差数列?若存在,

已知抛物线的顶点为原点,焦点F与圆x²+y²-2y=0的圆心重合求抛物线的标准方程；（2）是否存在过焦点的直线,使得与抛物线和圆顺次交与A、B、C、D,且|AB|,|BC|,|CD|依次成等差数列?若存在,
已知抛物线的顶点为原点,焦点F与圆x²+y²-2y=0的圆心重合
求抛物线的标准方程；
（2）是否存在过焦点的直线,使得与抛物线和圆顺次交与A、B、C、D,且|AB|,|BC|,|CD|依次成等差数列?若存在,求出直线的方程.
我要具体过程

已知抛物线的顶点为原点,焦点F与圆x²+y²-2y=0的圆心重合求抛物线的标准方程；（2）是否存在过焦点的直线,使得与抛物线和圆顺次交与A、B、C、D,且|AB|,|BC|,|CD|依次成等差数列?若存在,
（1）
首先把圆的方程化成标准方程
x^2+(y-1)^2=1
所以圆心为(0,1)
所以抛物线的焦点为(0,1)
及抛物线解析式为x^2=2py
焦点参数p=2
所以抛物线解析式为y=x^2/4
（2）
要想AB BC CD成等差数列
根据等差数列性质应该满足AB+CD=2BC=2（从圆的方程得之圆的直径为2）
而AB+CD=AD-BC
代入得到AD=3BC=6
换言之只要证明AD=6就可以了
设抛物线的解析式为y=kx+1 （因为过焦点,自然知道纵截距是1了）
A(x1,y1) D(x2,y2)
有图像来看x1x2y1y2是抛物线与直线的一对根
将抛物线与直线解析式联立两次,得到两个不同的方程
关于x的：x^2-4kx-4=0
关于y的：y^2-2(2k^2+1)y+1=0
根据两点间距离公式得到
AD^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=16(k^2+1)^2
根据伟达定理变形得到AD^2=(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2
代入,得到
AD^2=16(k^2+1)^2
则AD=4(k^2+1)
令AD=6
则4(k^2+1)=6,解得k=根号2/2或k=-根号2/2
所以直线有两条,解析式为
y=根号2x/2+1 (此时AB小于CD)
y=-根号2x/2+1 (此时AB大于CD)