作业帮已知方程(m+5)x^2-(2m+5)x+4=0的两个根恰好是一直角三角形两个锐角的余弦值,则m的值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 17:53:25
已知方程(m+5)x^2-(2m+5)x+4=0的两个根恰好是一直角三角形两个锐角的余弦值,则m的值为?
已知方程(m+5)x^2-(2m+5)x+4=0的两个根恰好是一直角三角形两个锐角的余弦值,则m的值为?
已知方程(m+5)x^2-(2m+5)x+4=0的两个根恰好是一直角三角形两个锐角的余弦值,则m的值为?
有两个根
(2m+5)^2-16(m+5)>=0
4m^2+20m+25-16m-80>=0
4m^2+4m-55>=0
假设这两个角是A和B
则A=90-B
cosA=cos(90-B)=sinB
所以(cosA)^2+(cosB)^2=(sinB)^2+(cosB)^2=1
即x1^2+x2^2=1
x1+x2=(2m+5)/(m+5),x1*x2=4/(m+5)
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=1
(2m+5)^2/(m+5)^2-8/(m+5)-1=0
两边乘(m+5)^2
4m^2+20m+25-8m-40-m^2-10m-25=0
3m^2+2m-40=0
(3m-10)(m+4)=0
m=10/3,m=-4
代入4m^2+4m-55>=0验证
m=-4不成立
所以m=10/3
设二个锐角是A,B,则x1=cosA,x2=cosB=cos(90-A)=sinA
x1+x2=(2m+5)/(m+5)
x1x2=4/(m+5)
因为x1^2+x2^2=(cosA)^2+(sinA)^2=1
(x1+x2)^2-2x1x2=1
(2m+5)^2/(m+5)^2-2*4/(m+5)=1
4m^2+20m+25-8(m+5)=m^2+10m+25
3m^2+2m-5=0
(3m+5)(m-1)=0
m=-5/3
m=1
经检验，m=1时方程无解，所以m=-5/3
x1^2+x2^2=(x1+x2)^-2x1x2=1
delt>0
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