如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.（1）求证：DF为圆O的切线；（2）若过点A且与BC平行的直线交BE的延长线于点G,连接CG,当△ABC是等边三角形时,求角

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/26 14:54:19

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.（1）求证：DF为圆O的切线；（2）若过点A且与BC平行的直线交BE的延长线于点G,连接CG,当△ABC是等边三角形时,求角
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.
（1）求证：DF为圆O的切线；

（2）若过点A且与BC平行的直线交BE的延长线于点G,连接CG,当△ABC是等边三角形时,求角AGC的度数
附图：

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.（1）求证：DF为圆O的切线；（2）若过点A且与BC平行的直线交BE的延长线于点G,连接CG,当△ABC是等边三角形时,求角
1、连接AD,OD
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC
∵AB=AC,
那么根据等腰三角形底边中线,高、和顶角平分线三线合一：∠BAD=∠CAD
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ODA=∠CAD
∵DF⊥AC,那么RT△ADF中
∠ADF+∠CAD=90°
∴∠ADF+∠ODA=90°
即∠ODF=90°,OD⊥DF
∴DF是圆的切线
2、AB是圆直径
∴∠AEB=90°,即BE⊥AC
∵△ABC是等边三角形
∴AE=CE
∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC=30°
∵AG∥BC,那么∠GAE=∠ACB=60°
∠AEG=∠CEG=90°,
∴∠AGE=90°-60°=30°
∵AE=CE,∠AEG=∠CEG=90°,EG=EG
∴△AEG≌△CEG(SAS)
∴∠cge=∠age=30°
∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=30°+30°=60°

①证明：
连接OD
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∵AB=AC
∴∠OBD=∠ACB
∴∠ODB=∠ACB
∴OD//AC
∵DF⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线
②∵AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°
∵△ABC是等边三角形
∴AE=CE（三线合一）
则BG垂直...

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①证明：
连接OD
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∵AB=AC
∴∠OBD=∠ACB
∴∠ODB=∠ACB
∴OD//AC
∵DF⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线
②∵AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°
∵△ABC是等边三角形
∴AE=CE（三线合一）
则BG垂直平分AC
∴AG=CG（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∵AG//BC
∴∠GAC=∠ACB=60°
∴△ACG为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠AGC=60°

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