作业帮a,b,c>0 ,a2+b2+c2+2abc=1 求证：a+b+c不好意思 打错了，是求证：a+b+c
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 13:59:59
a,b,c>0 ,a2+b2+c2+2abc=1 求证：a+b+c不好意思 打错了，是求证：a+b+c
a,b,c>0 ,a2+b2+c2+2abc=1 求证：a+b+c
不好意思 打错了，是求证：a+b+c
a,b,c>0 ,a2+b2+c2+2abc=1 求证：a+b+c不好意思 打错了，是求证：a+b+c
令a+b+c=k,则a^2+b^2+c^2+2abc=1等价于(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+2abc=1
两边同时加上2(a+b+c)-2得(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+2abc+2(a+b+c)-2=2(a+b+c)-1
即k^2+2(abc-ab-bc-ac+a+b+c-1)=2k-1
等价于k^2-2k+1=2(1-a)(1-b)(1-c)
显然a^2
你确定a^2+b^2+c^2+2abc=1不是≤1？=1的话a=b=c=1/2何来小于等于3/2？
如果a^2+b^2+c^2+2abc≤1的话可以设a是三者中的最大值，得
3a^2+2a^3-1≤0→0
嗯...可以设 x=a+b+c
设 k = ab+ac+bc-abc
以下成立
(1)
[1-a+1-b+1-c]/3 >= [(1-a)(1-b)(1-c)]^(1/3) (此1/3为幂)
得出 (3-x)/3 >= [1-x+k]^(1/3)
即 1-x/3 >= [1-x+k]^(1/3)
即 （1-x/3)^3 >= [1-x+k]...
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嗯...可以设 x=a+b+c
设 k = ab+ac+bc-abc
以下成立
(1)
[1-a+1-b+1-c]/3 >= [(1-a)(1-b)(1-c)]^(1/3) (此1/3为幂)
得出 (3-x)/3 >= [1-x+k]^(1/3)
即 1-x/3 >= [1-x+k]^(1/3)
即 （1-x/3)^3 >= [1-x+k]
(*)
(2)
x = (x^2)^(1/2)
= [a2+b2+c2+2abc+2k]^(1/2)
= (1+2k)^1/2
得出 k = (x2-1)/2
代入 (*) 得
（1-x/3)^3 >=1-x+ (x^2-1)/2
整理得 2x^3 + 9x^2 - 27 >=0
解集为 x <= 3/2
收起
构造函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x³-(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x-abc
记a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r,那么
条件变为a²+b²+c²+2abc = p²-2q+2r = 1，需要证明p≤3/2
将条件变形，有 q-r = (p²-1)/2 …①
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构造函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x³-(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x-abc
记a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r,那么
条件变为a²+b²+c²+2abc = p²-2q+2r = 1，需要证明p≤3/2
将条件变形，有 q-r = (p²-1)/2 …①
取x=1,对f(1)=(1-a)(1-b)(1-c)
≤[3-(a+b+c)]³/27(均值不等式）
=(3-p)³/27 …②
另外一方面，f(1)=1³-p·1²+q·1-r
=1-p+q-r …③
PS:之所以取x=1,是因为条件中q与r的系数比为1：-1
将①代入③，有
f(1)=1-p+(p²-1)/2 …④
而②即f(1)≤(3-p)³/27 …⑤
于是由④⑤
1-p+(p²-1)/2≤(3-p)³/27
整理有 2p³+9p²-27≤0
分解因式，有(2p-3)(p+3)²≤0
于是得到2p-3≤0
即p≤3/2,命题得证。
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