已知奇函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)证明函数f(x)在[0,1/2]上具有单调性,并求f(x)在该区间内的最小值.ps:不要用导函数,还没学,看不懂

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 00:17:24

已知奇函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)证明函数f(x)在[0,1/2]上具有单调性,并求f(x)在该区间内的最小值.ps:不要用导函数,还没学,看不懂
已知奇函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)
证明函数f(x)在[0,1/2]上具有单调性,并求f(x)在该区间内的最小值.
ps:不要用导函数,还没学,看不懂

已知奇函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)证明函数f(x)在[0,1/2]上具有单调性,并求f(x)在该区间内的最小值.ps:不要用导函数,还没学,看不懂
∵函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)是奇函数
∴定义域关于原点对称
∵m+x>0,1-x>0
∴-m<x<1
∵由上可知,定义域关于原点对称
∴-m=-1
∴m=1
∴f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)
从【0,1/2】中,任意抽取x1,x2,且x1>x2,则
f(x1)-f(x2)
=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)
=ln【(1+x1)/(1+x2)】+ln【(1-x2)/(1-x1)】
=ln【(1+x1)(1-x2)/(1-x1)(1+x2)】
∵x1>x2
∴1+x1>1+x2
∴1-x2>1-x1
∴(1+x1)/(1+x2)>1
∴(1-x2)/(1-x1)>1
∴【(1+x1)(1-x2)/(1-x1)(1+x2)】>1
∴ln【(1+x1)(1-x2)/(1-x1)(1+x2)】>0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
故:f(x)是增函数
∴f(x)min=f(0)=ln1-ln1=0

f(x)是奇函数,所以f(0)=0
即ln(m+0)-ln(1-0)=0
得m=1
又因为f(x)具有单调性
所以在该区间上最大值要么是f(0),要么是f(1/2)
f(0)=0
f(1/2)=ln(1+1/2)-ln(1/2)=ln(3/2)+ln2>0
所以最小值是f(0)=0