设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2,求圆的方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:31:22
设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2,求圆的方程.
设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2,求圆的方程.
设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2,求圆的方程.
已知圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,即圆心在直线x+2y=0上
所以,设圆心为(2a,-a),R²=(2a-2)²+(-a-3)²
又知道与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2
所以,圆心到直线l得距离d=|3a+1|/√2=√(R²-2)
经转化,得(a-7)(a-3)=0
所以,a=3或7
经检验成立
故,圆方程为(x-6)²+(y+3)²=52或(x-14)²+(y+7)²=244
设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,
∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上,
∴圆心(a,b)在直线x+2y=0上,
∴a+2b=0,①
(2-a)2+(3-b)2=r2.②
又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2倍根号 2 ,
圆心(a,b)到直线x-y+1的距离为d=|a-b+1| 1+1 =|a-b+1| 2 ...
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设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,
∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上,
∴圆心(a,b)在直线x+2y=0上,
∴a+2b=0,①
(2-a)2+(3-b)2=r2.②
又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2倍根号 2 ,
圆心(a,b)到直线x-y+1的距离为d=|a-b+1| 1+1 =|a-b+1| 2 ,
则根据垂径定理得:r2-(a-b+1 2 )2=( 2 )2③
解由方程①、②、③组成的方程组得:
b=-3 a=6 r2=52 或 b=-7 a=14 r2=244 ∴所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
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