作业帮a1,a2-a1,a3-a2,a4-a3.an-a(n-1)是首项为1,公比为1/3的等比数列1.求an的表达式2.bn=(2n-1)*an,求bn的前n项和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:37:16
a1,a2-a1,a3-a2,a4-a3.an-a(n-1)是首项为1,公比为1/3的等比数列1.求an的表达式2.bn=(2n-1)*an,求bn的前n项和
a1,a2-a1,a3-a2,a4-a3.an-a(n-1)是首项为1,公比为1/3的等比数列
1.求an的表达式
2.bn=(2n-1)*an,求bn的前n项和
a1,a2-a1,a3-a2,a4-a3.an-a(n-1)是首项为1,公比为1/3的等比数列1.求an的表达式2.bn=(2n-1)*an,求bn的前n项和
1.
A1=1
A2-A1=1/3
A3-A2=1/3^2
……
An-A(n-1)=1/3^n
上式相加,相同项消去
An=1+1/3+1/3^2+……+1/3^n=1×(1-1/3^n)/(1-1/3)=3/2×(1-1/3^n)
2.
Bn=(2n-1)An=(2n-1)×3/2×(1-1/3^n)=3/2×(2n-1)-(2n-1)/(2×3^(n-1))
Bn分为两部分,前半部分3/2×(2n-1)是等差数列,后半部分是等差数列与等比数列乘积
前半部分之和S1=3/2×(1+2n-1)×n/2=3/2×n^2
后半部分之和S2=1/2+3/6+5/18+……+(2n-1)/(2×3^(n-1))
3S2=3/2+3/2+5/6+……+(2n-1)/(2×3^(n-2))
两式错位相减
3S2-S2=3/2+[(3/2-1/2)+(5/6-3/6)+……+(2n-1)/(2×3^(n-2))-(2(n-1)-1)/2×3^(n-2))]-(2n-1)/(2×3^(n-1))
=3/2+(1+1/3+……1/3^(n-2))-(2n-1)/(2×3^(n-1))
=3/2+1×(1-1/3^(n-1))/(1-1/3)-(2n-1)/(2×3^(n-1))
=3-(n+1)/3^(n-1)
S2=3/2-(n+1)/(2×3^(n-1))
{Bn}前n项和Sn=S1-S2
=3/2×n^2-3/2+(n+1)/(2×3^(n-1))