已知函数f(x)=-x^3+6x-9x,若过点p(-1,m)可作曲线y=f(x)=的切线有三条,求实数m的取值范围.

已知函数f(x)=-x^3+6x-9x,若过点p(-1,m)可作曲线y=f(x)=的切线有三条,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=-x^3+6x-9x,若过点p(-1,m)可作曲线y=f(x)=的切线有三条,求实数m的取值范围.

已知函数f(x)=-x^3+6x-9x,若过点p(-1,m)可作曲线y=f(x)=的切线有三条,求实数m的取值范围.
设过点P（-1,m）的切线切曲线于点（x0,y0）,
则切线的斜率k=f'（x0）=-3x02+12x0-9…（2分）
所以切线方程为y=（-3y02+12x0-9）（x+1）+m…（4分）
故y0=（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0 …（5分）
要使过P可作曲线y=f（x）的切线有三条,
则方程（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0 有三个不同实数根…（7分）
∴m=2x03-3x02-12x0+9
令g（x）=2x03-3x02-12x0+9
则g'（x）=6x2-6x-12=6x（x-1）（x-2）…（10分）
当x=-1,2为g（x）的极值大、极小值点,
又g（x）有极大值16；g（x）有极小值-11…（12分）
故满足条件的m的取值范围-11＜m＜16 …（14分）
❤